计算方法之计算矩阵的特征值和特征量

1定义设A为n阶方阵，若存在常数与n维非零向量X使AX=X成立，则称为方阵A的特征值，非零向量X为A的对应于的特征向量。由AX=X(A-E)X=0此方程有非零解的充要条件是:|A-E|=0,即：0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa——特征多项式方程。2在线性代数中按如下三步计算：1、计算出A的特征多项式│A-E│；2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i3、将i代入(A-iE)X=0求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i的全部特征向量。例求矩阵的特征值与特征向量3113A3解：计算特征多项式方程，即01)3(31132EA解得A的两个特征值：1=4，2=2。（1）1=4将1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=0043114321xx0111121xx21212100xxxxxx4取对应于1=4的基础解向量111P则对应于1=4的全部特征向量为：)0(1kPk（2）2=2将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0023112321xx0111121xx21212100xxxxxx取对应于2=2的基础解向量112P5方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n4）时，将面临两方面的难题：（1）多项式的计算对舍入误差非常敏感；（2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。则对应于2=2的全部特征向量为：)0(2kPk特征值的数值计算方法1、幂法：求按模最大特征值，即ini1max2、反幂法：求按模最小特征值，即ini1min3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。6幂法是一种迭代法。基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得。如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0)，作迭代计算X(k+1)=AX(k)则可得迭代序列X(0),X(1),…,X(k),…，序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。7下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根8定理设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：|1|＞|2|…|n|则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…）有：)()1(1limkjkjkvv其中)1(kjv表示)1(kV中的第j个分量。（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根9证明：因为A具有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,...,n）而任一n维的非零向量，如V(0)：TnvvvV)0()0(2)0(1)0(总可以用Xi的线性组合来表示：V(0)=1X1+2X2+...+nXn（其中10）取V(1)=AV(0)V(2)=AV(1)=A2V(0)……10V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)以构成向量迭代序列。由矩阵特征值的定义有：AXi=iXi（i=1,2,...,n）则有nknkkkkXAXAXAVAV1212111)0(1)1(nknnkkXXX121221111][1211111ikniiikXX11同理可得：][21111)(ikniiikkXXVV(k+1)的第j个分量：])()([1211111)1(jikniiijkkjXXvV(k)的第j个分量：])()([21111)(jikniiijkkjXXv那么])()([])()([limlim211111211111)()1(jikniiijkjikniiijkkkjkjkXXXXvv12由已知条件：11i故有：0,0111kiki所以：1)()1(limkjkjkvv定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：（1）取一非零初始向量V(0)，如V(0)=(1,1,...,1)T（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)（3）当k充分大时取：)()1(1kjkjvv13或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：nvvnjkjkj1)()1(1（4）求1所对应的特征向量：由：1)()1(limkjkjkvv可得：)(1)1(kkVV而：)()1(kkAVV故：)(1)(kkVAV则V(k)即为所求对应1的特征向量。14例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量。1110A（1）即初始非零向量V(0)11)0(V（2）作迭代计算V(k+1)=AV(k)：21111110)0()1(AVV32211110)1()2(AVV15最大特征值的计算：53321110)2()3(AVV233144)10()11(AVV3772332331441110)11()12(AVV61803.123337761805.1144233)11(2)12(21)11(1)12(11VVVV或者261803.161805.11或者特征向量：V(11)16设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：|1|=|2||3|…|n|，设其中10,1=-2（二）按模最大特征值是互为反号的实根nknkkkkXAXAXAVAV2211)0()(nknnkkXXX222111])1([3122111ikniiikkXXX由迭代变换：17迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有])1([22111)(XXVkkk则有：同理：])1([2221121)2(XXVkkk（k充分大时）)(21kV)()2(1kikiVV再由：])1([])1([2211111)1(22111)(XXVXXVkkkkkk可得：22111)(1)1(1111)(1)1(2)1(2XVVXVVkkkkkkk取)(1)1(2)(1)1(1kkkkVVXVVX18★规范化幂法运算由11111211111)1(][XXXVkikniiikk11121111)(][XXXVkikniiikk（1）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；（2）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0；上述两种情况都会导致计算结果不准确。19解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化，具体操作如下：（1）取U(0)=V(0)=1X1+2X2+...+nXn（非零向量），计算V(1)：V(1)=AU(0)=AV(0)（2）取U(1)：)0()0()1()1()1(AVAVVVU即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分量。其次计算V(2)：)0()0(2)1()2(AVVAAUV20（3）取U(2)：)0(2)0(2)2()2()2(VAVAVVU即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次计算V(3)：)0(2)0(3)2()3(VAVAAUV………………………………（k+1）取U(k)：)0()0()()()(VAVAVVUkkkkk21即用V(k)中绝对值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次计算V(k+1)：)0()0(1)()1(VAVAAUVkkkk计算过程总结如下:)()1()()()()0(kkkkkAUVVVUV取初值22)(11)(kXXUk当由][][2111121111)0()0()(ikniikikniikkkkXXXXVAVAU◆规范化幂法运算中的几种情况（一）按模最大特征值1是单实根，且10此时迭代向量序列{V(k)}将正常收敛。23][][211111211111)0()0(1)1(ikniikikniikkkkXXXXVAVAV由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么11XX也是对应1的特征向量。即可用U(k)作为所求对应于1的特征向量。由那么：24即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所求最大特征值1)(1k当例用规范化幂法计算右面矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量90688465441356133AikniikikniikkXXXXV211111211111)1(25解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：kV(k)U(k)max(V(k))0111111127495-18410.34672-0.67153244.4237714.84322-29.6426210.33413-0.6672744.42377344.9233314.97623-29.9504810.33337-0.6667044.92333444.9957214.99865-29.9972210.33334-0.6666744.99572544.9995914.99988-29.9997410.33333-0.6666744.99959644.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953744.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953由表可知，最大特征值为：1=44.99953对应特征向量为：(1,0.33333,-0.66667)T26此种情形下，按模最大特征值为（二）按模最大特征值1是单实根，但10此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛于互为反号的向量。)(lim)(1kkV当k充分大时，的符号会交替变号。)(kiV而对应于1的特征向量仍为U(k)。27|1|=|2||3|…|n|，设其中10,1=-2（三）按模最大特征值是互为反号的实根，即此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛于两个互不相同的向量。当规范化运算到k充分大时停止，