8.4三元一次方程组的解法

8.4三元一次方程组的解法小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张?问题中含有几个未知数？有几个相等关系？小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.分析：（1）这个问题中包含有个相等关系：1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.（2）这个问题中包含有个未知数：1元、2元、5元纸币的张数.三三设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到下面三个方程：x+y+z=12x=4yx+2y+5z=22①②③你能根据等量关系列出方程吗？x+y+z=12x=4yx+2y+5z=22①②③观察方程①、③你能得出什么？都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成x+y+z=12，x=4y，x+2y+5z=22.这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.如何解三元一次方程组呢？x+y+z=12，x=4y，x+2y+5z=22.是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？解三元一次方程组的基本思路：通过消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．例1、解三元一次方程组3x＋4z=7，①2x＋3y＋z=9，②5x－9y＋7z=8.③分析：方程①中只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.解：②×3＋③，得11x＋10z=35④①与④组成方程组解这个方程组，得3x＋4z=7，11x＋10z=35.x=5，z=-2.3x＋4z=7，①2x＋3y＋z=9，②5x－9y＋7z=8.③把x＝5，z＝-2代入②，得y=，31因此，这个三元一次方程组的解为.2-z315，，yx活动你会用代入法解三元一次方程组吗？29,3,247.xyyzzx再来试试这个三元一次方程组！你还有更简便的做法吗？加减法观察下列方程中每个未知数的系数，若用加减法解方程组，先消哪个元比较简单？为什么？如何消元？解三元一次方程组的关键在于消元，这就要求我们要认真地观察、分析，确定消元的对象及做法，这样不但可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题.3x+4y-z=46x-y+3z=-55y+z=11x+y+z=26x-y=12x-y+z=18x＋y－z＝6，x－3y＋2z＝1，3x＋2y－z＝4.1.解三元一次方程组①②③【答案】11,5x32,5y51.5z1、解下列三元一次方程组：x＋y－z＝6，x－3y＋2z＝1，3x＋2y－z＝4.①②③【答案】551-z532-y511x（3）巩固练习2、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的等于丙数的，求这三个数．•解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则35,10,25,15,10.,32xyzxxyyyzz解得即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．巩固练习1.三元一次方程组的解法2.三元一次方程组的应用三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程通过本课时的学习，你学到了哪些知识？速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素.例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值．解：由题意，得三元一次方程组0,423,25560.abcabcabc②-①，得a+b=1，④③-①，得4a+b=10．⑤1,410.abab3,2ab④与⑤组成二元一次方程组解得把a=3，b=-2代入①，得c=-5．因此3,2,5.abc答：a=3，b=-2，c=-5．1、解下列三元一次方程组：巩固练习x＋y－z＝6，x－3y＋2z＝1，3x＋2y－z＝4.①②③【答案】551-z532-y511x（3）巩固练习2、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的等于丙数的，求这三个数．•解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则35,10,25,15,10.,32xyzxxyyyzz解得即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．巩固练习3、已知方程组相同，求a，b，c的值．326,22,622,,,2341,62533351xyzaxbyczxyzxyzaxbyczxyzaxbycz与关于的方程组1,326,3622,2,6253,1.xxyzxyzyxyzz解得解：解方程组巩固练习4.下列解三元一次方程组的消元过程正确吗？若有错误，请改过来，说明这样消元对方程合理吗？并求出方程组的解．解方程组5122154xyzxyzxyz,,.①+②，得732xz.④①+③，得（消z）663xy.⑤④、⑤组成方程组732663xzxy,.①②③巩固练习5、在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y的值是多少？解：由题意，得0,11,423,30,9328.19.abcaabcbabcc解得所以y=11x-30x+19．所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60．21.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.【解析】把x=-1，y=-2代入方程中，即可求出z的值.【答案】42.解方程组，则x＝_____，y＝______，z＝_______.x＋y－z＝11，y＋z－x＝5，z＋x－y＝1.①②③【解析】通过观察未知数的系数，可采取①+②求出y，②+③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.【答案】6833.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A.2B.3C.4D.5【解析】选D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.4.在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.解：根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=1，4a＋b=10.a=3，b=-2.解这个方程组，得把代入①，得a=3，b=-2.c=-5a=3，b=-2，c=-5.因此5.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：农作物品种每公顷所需劳动力每公顷投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、z公顷种蔬菜.由题意得答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用.4x+8y+5z=300，x+y+2z=67.x+y+z=51，x=15，y=20，解得：z=16.