浅析排列组合中的重复计算问题

例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题能力的提高大有好处。一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C种取法，根据乘法原理，共有111457140CCC种取法。【分析】设甲型机种有a、b两台机子，乙型机中有A、B两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”,另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”。而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145CC种取法；第二类：两台乙型机，有1245CC种取法，根据分类计数原理，共有2112454570CCCC种取法。二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先分步，第五次有13C种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先选出一种颜色，被取到三次，有12C种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有34C中情况，共有1324CC种情况；第二类，类似第一类，共有1224CC种情况，由分步原理共有1121332424()60CCCCC种不同的取法。【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的情况，计数重复。比如假设第五次取到白色，12C选取的是红色，在四次取球中，24C中前两次是红色，后两次是黄色，即红红黄黄白是其中一种情况；若12C选取的是黄色，在四次取球中，后两次是黄色，前两次是黄色，对于该算法来讲是不同的两次，而结果是相同的，应是11323244()42CCCC。【正解】本题可以通过举例探究，分类讨论避开平均分组。不妨假设最后一次取的是白球（由分步原理应是13C种可能）则前四次应只有红色和黄色。可进一步细分为三类：三红一黄，两红两黄，一红三黄，各有14C、24C、34C种可能。由等可能性，共有11233444()42CCCC种可能。平均分组高考没有明确要求，但06年江苏最后一道选择题却又涉及到。学生对平均分组计数时么除以组数的全排列难以理解，解题时也不容易想到。本题通过特殊化的思想，通过举例探究，找到相同点，弄清楚其中的关系，思路相对自然，容易接受和理解。三、分类不清引起的重复例3：定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1，3，5，7}的孙集的个数为________。【解析】本题源于课本，又高于课本。根据真子集的定义，学生不难写出集合{1，3，5，7}的真子集，应有24－1＝15个，然后在找出每个真子集的真子集即可。由于四元子集的真子集可以分为三类即空集；一元真子集；二元真子集；三元真子集。空集没有真子集，一元集合的真子集有2个，其中一个为空集；二元集合的真子集有3个，其中一个为空集；三元集合的真子集有7个，其中一个为空集。除去空集重复，一共有123444126141CCC种。上述解法是错的。仍以举例分析。一元真子集如{1}或{3}等等，其真子集只能是空集，仅算一个；二元子集如{1,3}或{1,5}等等，其真子集为空集和一元集合{1},{3},{5}，……，不难发现，一元真子集也有重复，三元集合的真子集也也有类似的重复。因此上述解法由于分类后并不清楚，仍有重复计算。正确的解法：由分析不难看出，尽管每种分类都有重复，但可以发现，其孙集必为真子集，而且最多是二元真子集。所以分三类：空集；一元集合，有14C个；二元集合，有24C个，共计01244411CCC个。对策：此类重复计算问题往往比较隐蔽，学生易犯错误，而且不易察觉。但仔细回顾这三道例题，我们还是有规律可寻，有方法可依的。一、通过题组训练，强化模式识别。对于易产生重复的题目有很多还是有相似之处的。可以通过题组的形式，让学生强化对该类题目的辨析和认识。笔者列举如下一组问题，请读者仔细考虑。（1）袋中装有大小相同、编号各不相同的五个红球、四个黑球，从中取出5个，红球，黑球各至少有2个的不同取法有多少种？（2）某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节目，5人会表演舞蹈节目，今从9人中选2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，则不同的选法有多少种？（3）有学生10人，其中团员4人，现平均分成2组，若每组都要分2名团员，那么不同的分组方法有多少种？（4）某篮球队有11名队员，其中5人只能打前锋，4人只能打后卫，其余2人可打前锋可打后卫。①现从中选5人（3前锋2后卫）出场，有几种选法？②现从中选10人组成2个队对抗，每队都是3前锋2后卫，有几种选法？（5）∠A的一边有4个点，另一边有5个点，连同顶点一共10个点，可以作出多少个三角形？（6）有红黄蓝三种颜色卡片各5张，每种卡片上分别写有1，2，3，4，5五个数字，如果每次提取4张卡片，要求颜色齐全，数字不同，那么取法种数共有多少种？（7）从1，2，3…，10这10个数字种有放回地抽取3次，每次抽取1个数字，3次抽取中最小数为3的所有可能种数为多少？（提示：1、2两题参考例1；3、4两题参考例2；5、6、7先考虑分组。）二、由小见大，以点带面，逐步摸清规律，合理分解。在剖析重复计算产生的原因的过程当中，我们不难发现错误的想法源于对整体情况的把握不够完整，问题考虑得不够清晰。对于这样的问题，学生的反映或者是无从下手，或者是惰于思考，想不周全。实际上以上三例的解析已经给出行之有效的一套方案。一方面，我们通过举例发现重复计算的问题，而另一方面，我们还是通过举例，先列举出一些特例，同时在举例的过程中，寻找共同点，逐步发现起本质规律。比如例3，我们通过列举发现集合的子集的子集出现很多重复，从而避免错解的简单化思维，而在列举一些有代表性的集合时，我们又发现归根到底还是原来集合的真子集，只不过条件是子集中最多有两个元素。于是，问题迎刃而解。附：题组答案⑴100；⑵32；⑶60；⑷380，960；⑸90；⑹180；⑺169