三角函数高考题及练习题(含答案)

三角函数高考题及练习题（含答案）1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1.函数y＝2sin2x－π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π奇解析：y＝－cos2x－π2＝－sin2x.2.函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________．答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．3.函数y＝2sin(3x＋φ)，|φ|π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ＋π4，k∈Z.因为|φ|π2，所以φ＝π4.4.若f(x)＝2sinωx(0ω1)在区间0，π3上的最大值是2，则ω＝________．答案：34解析：由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3π3，则f(x)在0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sinωπ3＝2，且0ωπ3π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.题型二三角函数定义及应用问题例1设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标是12，32，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域x＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1)根据三角函数定义得sinθ＝32，cosθ＝12，∴f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出f(θ)＝2)．(2)在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π6，∴当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝π3，f(θ)max＝2.(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210、255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的值．解：由题意得cosα＝210，cosβ＝255，α、β∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55，因此tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈0，3π2，所以α＋2β＝3π4.题型二三角函数的图象与解析式问题例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A0，ω0)的部分图象如图所示．(1)求f(0)的值；(2)若0φπ，求函数f(x)在区间0，π3上的取值范围．解：(1)由题图可知A＝2，∵T4＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2.又2×7π12＋φ＝2kπ＋3π2，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，∴f(0)＝2sin2kπ＋π3＝62.(2)φ＝π3，f(x)＝2sin2x＋π3.因为0≤x≤π3，所以π3≤2x＋π3≤π，所以0≤sin2x＋π3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝13时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.又当x＝13时，f(x)max＝2，知13π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，所以f(x)＝2sinπx＋2kπ＋π6＝2sinπx＋π6(k∈Z)．故f(x)的解析式为f(x)＝2sinπx＋π6.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝k＋13(k∈Z)，由214≤k＋13≤234，解得5912≤k≤6512.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝163.题型三三角函数的性质与图象的移动问题例3把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m0)，所得函数的图象关于直线x＝17π8对称．(1)求m的最小值；(2)证明：当x∈－17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．(1)解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝1－cos2x2－sin2x＋3·1＋cos2x2＝cos2x－sin2x＋2＝2cos2x＋π4＋2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m0)，得到g(x)＝22（x＋m）＋π4＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝17π8对称，所以217π8＋m＋π4＝kπ，即m＝（2k－9）4π(k∈Z)．因为m0，所以m的最小值为π4.(2)证明：因为x∈－17π8，－15π8，所以－4π2x＋π4－7π2，所以f(x)在－17π8，－15π8上是减函数．所以当x1、x2∈－17π8，－15π8，且x1x2时，都有f(x1)f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝f（x1）－f（x2）x1－x20.(3)解：令f(x)＝1，所以cos2x＋π4＝－22.因为x∈(0，π)，所以2x＋π4∈π4，9π4.所以2x＋π4＝3π4或2x＋π4＝5π4，即x＝π4或x＝π2.因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω0.(1)若y＝f(x)在－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且ab)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．解：(1)因为ω0，根据题意有－π4ω≥－π22π3ω≤π20ω≤34.(2)f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2x＋π6＋1＝2sin2x＋π3＋1，g(x)＝0sin2x＋π3＝－12x＝kπ－π3或x＝kπ－712π，k∈Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝232sin（ωx＋φ）－12cos（ωx＋φ）＝2sinωx＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin－ωx＋φ－π6＝sinωx＋φ－π6，即－sinωxcosφ－π6＋cosωxsinφ－π6＝sinωxcos(φ－π6)＋cosωxsinφ－π6，整理得sinωxcosφ－π6＝0.因为ω＞0，且x∈R，所以cosφ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sinωx＋π2＝2cosωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到fx－π6的图象，所以g(x)＝fx－π6＝2cos2x－π6＝2cos2x－π3.当2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－π6，0对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3)当x∈π4，π2时，不等式|f(x)－m|3恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cosπ2＋2x－3cos2x＝2sin2x－π3，故f(x)的最小正周期为π.(2)h(x)＝2sin2x＋2t－π3.令2×－π6＋2t－π3＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝π3或5π6.(3)当x∈π4，π2时，2x－π3∈π6，2π3，∴f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，∴2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)，在同一周期内，当x＝π12时，f(x)取得最大值3；当x＝712π时，f(x)取得最小值－3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，A＝3，T＝2712π－π12＝π，ω＝2πT＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2kπ得φ＝π3＋2kπ，k∈Z.又－πφπ，∴φ＝π3，∴f(x)＝3sin2x＋π3.(2)由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，得π6＋2kπ≤2x≤7π6＋2kπ，即π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ，k∈Z.(3)由题意知，方程sin2x＋π3＝m－16在－π3，π6上有两个根．∵x∈－π3，π6，∴2x＋π3∈－π3，2π3.∴m－16∈－32，1，∴m∈[1－33，7)．1.(2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：a≥2解析：f(x)＝