江苏省南京市2018届高三上学期期初学情调研考试-数学

·1·南京市2018届高三年级学情调研数学柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝▲．2．若(a＋bi)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为12，则输入x的值为▲．5．记函数f(x)＝4－3x－x2的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x216－y29＝1的焦点到其渐近线的距离为▲．7．已知实数x，y满足条件2≤x≤4，y≥3，x＋y≤8，则z=3x－2y的最大值为▲．8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为▲cm2.9．若函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0，||＜)的部分图象如图所示，则f(－)的值为▲．10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为▲．11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是▲．Y（第4题）结束输入xx≥0y←2x输出yN开始y←log2(－x)xOy(第9题）42·2·12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，→BM＝λ→BC．若→AM·→BC＝－173，则实数λ的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为▲．14．已知函数f(x)＝2x2，x≤0，－3|x－1|＋3，x＞0．若存在唯一的整数x，使得f(x)－ax＞0成立，则实数a的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（2）A1C//平面AB1E．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sinBsinC的值；（2）若C－B＝π4，求sinA的值．17．（本小题满分14分）A1B1C1ABCE(第15题）·3·某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N．（1）求椭圆C的方程；（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．yxBAMNOP(第18题）l·4·19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．·5·南京市2018届高三年级学情调研卷数学附加题2017.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证：CA＝3CB．B．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A＝1234．（1）求A－1；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t（t为参数），圆C的参数方程为DABCO（第21A题）·6·x＝a＋cos，y＝2a＋sin（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．D．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（1）若直线PB与CD所成角的大小为π3，求BC的长；（2）求二面角B－PD－A的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．CDPBA（第22题）·7·南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，2}2．73．164．－25．126．37．68．189．－110．611．(－∞，2]12．1313．－4314．[0，2]∪[3，8]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．因为AE平面ABC，所以CC1AE．……………2分因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC．因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE平面B1BCC1．………………5分因为AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.……………………………7分（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．A1B1C1ABCE(第15题）F·8·在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．……………………………9分又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E.……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cosB＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sinBsinC＝bc，所以sinBsinC＝3510．……………………………6分解法2因为cosB＝45，B∈(0，)，所以sinB＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝65cosC＋85sinC，即－sinC＝2cosC．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝255，所以sinBsinC＝3510．………………………6分（2）因为cosB＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝35，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，·9·所以sinA＝sin(3π4－2B)＝sin3π4cos2B－cos3π4sin2B………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为32，所以a2＝4b2．………………………2分又因为椭圆C过点(1，32)，所以1a2＋34b2＝1，………………………3分解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．………………………5分（2）解法1设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，则x024＋y02＝1．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，·10·所以2－x0＝m．………………………7分由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，令x＝m，得y＝y0(m＋2)x0＋2，即M(m，y0(m＋2)x0＋2)．因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，所以kPB·kMB＝y0x0－1·y0(m＋2)x0＋2m－1＝－1，………………………10分即y02（m＋2）(x0－1)(x0＋2)(m－1)＝－1．因为x024＋y02＝1．所以(x0－2)(m＋2)4(x0－1)(m－1)＝1．………………………12分因为x0