二项式定理及解题技巧

二项式定理及解题技巧1．二项式定理：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,,)rn.③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第1r项rnrrnCab叫做二项式展开式的通项。用1rnrrrnTCab表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n项。②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令1,,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN令1,,abx0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，···1kknnCC②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。⑥系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：12321666.nnnnnnCCCC解：012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC与已知的有一些差距，123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC0122111(6661)[(16)1](71)666nnnnnnnnCCCC练：1231393.nnnnnnCCCC解：设1231393nnnnnnnSCCCC，则122330122333333333331(13)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(13)14133nnnS题型二：利用通项公式求nx的系数；例：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？解：由条件知245nnC，即245nC，2900nn，解得9()10nn舍去或，由2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx，由题意1023,643rrr解得，则含有3x的项是第7项6336110210TCxx,系数为210。练：求291()2xx展开式中9x的系数？解：291821831999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxCxxCxx，令1839r,则3r故9x的系数为339121()22C。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？解：52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx，令52002r，得8r，所以88910145()2256TC练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx，令620r，得3r，所以3346(1)20TC练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则____.n解：4244421251()()nnnnTCxCxx，令2120n，得6n.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式93()xx展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxCx，令276rZ,(09r)得39rr或，所以当3r时，2746r，334449(1)84TCxx，当9r时，2736r，3933109(1)TCxx。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若2321()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设2321()nxx展开式中各项系数依次设为01,,,naaa1x令,则有010,naaa①，1x令,则有0123(1)2,nnnaaaaa②将①-②得：1352()2,naaa11352,naaa有题意得，1822562n，9n。练：若35211()nxx的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。解：0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC，121024n，解得11n所以中间两个项分别为6,7nn，56543551211()()462nTCxxx，611561462Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,nnnCCCnn解出714nn或，当7n时，展开式中二项式系数最大的项是45TT和34347135()2,22TC的系数，434571()270,2TC的系数当14n时，展开式中二项式系数最大的项是8T，7778141C()234322T的系数。练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即2112nnTT，也就是第1n项。练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则152n，即8n,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C例：写出在7()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347TCab的系数最小，43457TCab系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx的展开式中系数最大的项？解：由01279,nnnCCC解出12n,假设1rT项最大，12121211(2)()(14)22xx1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC，化简得到9.410.4r，又012r，10r，展开式中系数最大的项为11T,有121010101011121()4168962TCxx练：在10(12)x的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1rT项最大，1102rrrrTCx111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得，化简得到6.37.3k，又010r，7r，展开式中系数最大的项为7777810215360.TCxx题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]xxxx，2515(2)(3)rrrrTCxx，当且仅当1r时，1rT的展开式中才有x的一次项，此时124125(2)3rTTCxx，所以x得一次项为1445423CCx它的系数为1445423240CC。解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC故展开式中含x的项为4554455522240CxCCxx，故展开式中x的系数为240.练：求式子31(2)xx的常数项？解：3611(2)()xxxx，设第1r项为常数项，则66261661(1)()(1)rrrrrrrTCxCxx，得620r,3r,33316(1)20TC.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)xxx求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于.练：610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.解：436103341261061041(1)(1)mnmnmnmnxCxCxCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解：3431()CC,nrnrrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C,C,C,,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(2),,2,_____.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时解：2006123200601232006(2)xaaxaxa