合肥工业大学高数习题册上册答案详解

《高等数学》习题册参考解答1合肥工业大学高等数学习题册参考解答《高等数学》习题册参考解答2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题11-函数1．设函数2,0,()2,0,xxxfxx+≤=，求（1）(1)f-，(0)f，(1)f；（2）()(0)fxfxΔ-Δ，()(0)fxfx-Δ-Δ（0xΔ）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=xxxxfxfxf；（2）()(0)fxfxΔ-ΔΔΔΔ-=ΔΔ-Δ+ΔΔ-=ΔΔ.0,1,0,220,2)2(,0,22xxxxxxxxxx()(0)fxfx-Δ-Δ)0(12)2(Δ-=Δ-Δ-=xxx。■2．已知21()1fxxx=++，求()fx．【解】令xt1=，则2111)(tttf++=，故2111)(xxxf++=。■3．证明：()2sinfxxx=+在(,)-∞+∞内是严格递增函数．【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,xxxx+∞-∞∈，有)sin2()sin2()()(112212xxxxxfxf+-+=-2sin2cos2)(2sinsin)(21221121212xxxxxxxxxx-++-=-+-=2)1(2)(22sin)1(2)(212121212xxxxxxxx-⋅-⋅+--⋅-⋅+-≥012-=xx，其中用到)0(sin,cos1≤≤-xxxx，∴()2sinfxxx=+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。方法2（导数法）∵)(0cos2)(+∞-∞-=′xxxf∴),()(+∞-∞∈↑xf。■4．设()fx在[,]aa-上是奇函数，证明：若()fx在[0,]a上递增，则()fx在[,0]a-上也递增．《高等数学》习题册参考解答3【证】∵对任意0,],0,[,2121-∈axxaxx，有2121],,0[,xxaxx--∈--，∴由()fx在)0](,0[aa上单调增加可得：)()(21xfxf--。又∵()fx在[,]aa-上是奇函数，即)()(),()(2211xfxfxfxf-=--=-，∴)()(21xfxf--，即)()(21xfxf，故()fx在[,0]a-上也是单调增加。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题21-极限1．求下列极限：11(2)3(1)lim(2)3nnnnn++→∞-+-+；【解】分之分母同除n3，利用四则运算极限法则和幂极限可得313)32)(2(1)32(lim=+--+-=∞→nnnL。■222111(2)lim(1)(1)(1)23nn→∞--⋅⋅⋅-；【解】∵)11]()1(11[)411)(311)(211(22222nn------L22222222221)1(1)1(414313212nnnn-⋅----⋅-⋅-=L22222)1)(1()1()2(453342231nnnnnn+-⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=Lnnnn21111111121+=+⋅⋅⋅=L，∴2121lim=+=∞→nnLn。■22(3)lim[(1)(1)(1)]nnrrr→∞+++L(1)r；【解】∵rrrrrrrrnn-+++-=+++1)1()1)(1)(1()1()1)(1(2222LLrrrrrrnn--==-++-=+111)1()1)(1(12222LL，∴rrrrrLnnnn-=--=--=++∞→∞→111lim111lim1122。■(4)lim(1)xxxx→+∞+-；《高等数学》习题册参考解答4【解】∵)1()1)(1()1(xxxxxxxxxx++++-+=-+11111++=++=xxxx，∴211111lim=++=+∞→xLx。■3131(5)lim()11xxx→--++．【解】)1)(1()2)(1(lim12lim1)1(3lim21321321xxxxxxxxxxxLxxx+-+-+=+-+=++--=-→-→-→13312lim21==+--=-→xxxx。■2．求常数a和b，使得02lim1xaxbx→+-=．【解】∵02lim1xaxbx→+-=，0lim0=→xx，∴02)2(lim0=-=-+→bbaxx，即4=b。于是，())24()24)(24(lim2lim0000++++-+=-+→→axxaxaxxbaxxx14241lim)24(lim00==++=++=→→aaxaaxxaxxx，∴4==ba。■3．若111()1xxefxe+=-，求0lim()xfx-→，0lim()xfx+→，0lim()xfx→．【解】∵-∞=-→xx1lim0，+∞=+→xx1lim0，∴0lim10=-→xxe，+∞=+→xxe10lim。从而，1lim1lim111lim)(lim10101100=-+=-+=----→→→→xxxxxxxxeeeexf，111lim11lim1111lim11lim11lim)(lim11100-=-+=-+=-+=-+=+∞→+∞→+∞→+∞→=→→++ttttttttttxtxxxxeeeeeeeexf，《高等数学》习题册参考解答5故0lim()xfx→不存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题22-无穷小与无穷大1．利用等价无穷小的代换求下列极限：0tan(2)ln(1)(1)limsin(3)arctan(2)xxxxx→⋅+⋅；【解】31232lim0=⋅⋅=→xxxxLx。■2021cos(2)limsinxxx→-+；【解】)cos12()cos12)(cos12(lim20xxxxLx++⋅+++-=→24122121limcos121limcos1lim220020=⋅=++⋅-=→→→xxxxxxxx。■201cos(sin)(3)limxxx→-．【解】21)sinlim(21sin21lim20220===→→xxxxLxx。■2．设ln(12),0,(),10,xxxfxaxaxxx+=+---≤确定正数a的值，使得0lim()xfx→存在．【解】∵axaxaxxaxaxfxxx12limlim)(lim000=-++=--+=---→→→，22lim)21ln(lim)(lim000==+=+++→→→xxxxxfxxx，∴当21=a，即41=a时，0lim()xfx→存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题23-极限存在准则1．计算下列极限：30tansin(1)limxxxx→-；《高等数学》习题册参考解答6【解】200020cos1limcos1limsinlim)cos1cos1sin(limxxxxxxxxxxLxxxx-=-⋅⋅=→→→→212111=⋅⋅=。■22sin(2)(2)lim4xxx→--；【解】4141121lim2)2sin(lim22=⋅=+--=→→xxxLxx。■2(3)lim()xxxx→∞-；【解】22222])211(lim[])211[(lim---∞→--∞→=-+=-+=exxLxxxx。■2221(4)lim()1xxxx→∞+-．【解】212222222)11(lim)11(lim1111limeeexxxxLxxxxxx==-+=-+=-∞→∞→∞→。■2．设110,x=16nnxx+=+(1,2,3,)n=⋅⋅⋅，试证数列{}nx的极限存在，并求此数列极限．【证】（1）证明极限的存在性·单调性：∵46,10121=+==xxx，∴010412-=-xx。∵111116666----+-+++-=+-+=-nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx，∴由数学归纳法可知：01-+nnxx，即),2,1(1L=+nxxnn，故{}nx为单调减少数列。·有界性：只需证明有下界。显然，0nx。或者由数学归纳法∵,3101=x34612=+=xx，310623=+=xx，396106634=++=+=xx，33661=++=-nnxx，∴{}nx有下界。于是，由单调有界收敛准则知：存在极限nnx∞→lim。《高等数学》习题册参考解答7（2）求极限：设axnn=∞→lim，则由16-+=nnxx求极限可得aa+=6，即0)3)(2(62=-+=--aaaa，解得：3,2-=a。注意到0nx，故3=a。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题24-连续函数及其性质1．求函数11()1xxfxe-=-的间断点，并说明其类型．【解】显然，当1,0=x时，函数无定义，故1,0=x均为间断点。∵011)1(lim0**1lim*100=-=-=---→→eeexxxxxx，∴∞=→)(lim0xfx，即0=x为第二类间断点，且为无穷间断点。∵-∞=-=-=-∞+--→-→-eeexxxxxx11)1(lim1lim111，10111)1(lim1lim111=-=-=-=-∞---→+→+eeexxxxxx，∴1)(lim,0)(lim11==+-→→xfxfxx，即1=x为第一类间断点，且为跳跃间断点。■注：*极限四则运算法则，**xe的连续性。2．设221()lim1nnnxfxxx→∞-=+，试求函数()fx的表达式，若有间断点，并说明其类型．【解】∵∞+==∞→,1||,,1||,1,1||,0lim2xxxxnn∴-==+-∞→,1||,1,1||,0,1||,111lim22xxxxxnnn即-==。1||,,1||,0,1||,)(xxxxxxf由图形易知：1±=x为第一类间断点，且为跳跃间断点。■3．设21cos,0,(),0,xxfxxaxx=+≤要使()fx在(),-∞+∞内连续，确定常数a．《高等数学》习题册参考解答8【解】显然，函数在),0(),0,(+∞-∞内为初等函数，故连续。只需讨论分界点0=x处函数的连续性。∵axaxfxx=+=--→→)(lim)(lim200，01coslim)(lim00==-+→→xxxfxx（无穷小与有界函数积），∴当0=a时，()fx在(),-∞+∞内连续。■4．讨论sin,0,()1,0,2(11),0xxxfxxxxx==+-的连续性．【解】显然，只需讨论分界点0=x处函数的连续性。∵1sinlim)(lim00==--→→xxxfxx，1112lim)11(2lim)(lim000=-+=-+=+++→→→xxxxfxxx，∴)0(1)(lim0fxfx==→，即()fx在(),-∞+∞内连续。■5．求下列极限：0ln(1)(1)limxxxα→+(α为常数）；【解】方法1由等价无穷小可得：αα==→xxLx0lim。方法2由重要极限与连续性可得：αααα==+=+=→→exxLxxxxln)1(limln)1ln(lim1010。■sinsin(2)limxaxaxa→--；【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：aaxaxaxaxaxaxLaxaxaxcos22sinlim2coslim2sin2cos2lim=--+=--+=→→→。■0(3)limxxxeexαβ→-(,αβ为常数）．【解】显然，当βα=时，0=L。《高等数学》习题册参考解答9当βα≠时，xexexexeLxxxxxxx1lim1lim)11(lim000---=---=→→→βαβαβαβα-=-=→→xxxxxx00limlim。■6．设函数()fx在[]0,2π上连续，且(0)(2)ffπ=，证明在[]0,π上至少存在一点ξ，使得()()ffξξπ=+．【解】作辅助函数)()()(π+-=xf