概率统计教案1

1第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。1．教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。本章的教学要求是：（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。２．本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。一、随机现象１．定义在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；（２）掷一颗骰子，出现的点数；（３）一天内进入某超市的顾客数；（４）某种型号电视机的寿命；（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。随机现象到处可见。２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。二、样本空间１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为其中，表示基本结果，称为样本点。２．离散样本空间和连续样本空间。三、随机事件1．定义随机现象的某些样本点组成的集合。2．维恩图事件的集合表示。3．例掷一颗骰子的样本空间为：{1,2,,6}。事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成。事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不2可能事件。四、随机变量1．定义用来表示随机现象结果的变量。2．例掷骰子，出现的点数是一个随机变量；不合格产品数是一个随机变量，等等。五、事件之间的关系事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示。六、事件运算1．事件运算：并、交、差、补。2．事件的运算性质：（1）交换律：,ABBAABBA；（2）结合律：()(),()()ABCABCABCABC；（3）分配律：()()(),()()()ABCACBCABCACBC；（4）对偶律（德莫根公式）：,ABABABAB。证明略。七、事件域1．定义设为一样本空间，F为的某些子集组成的集合，如果F满足：（1）;F（2）若AF，则AF；（3）若nAF，1,2,,n则1nnAF。则称F为一事件域或代数。2．常见事件域例常见事件域：1,,,;AAF212(,,,)nF；等。3．波雷尔事件域：((,),)xxF。1.2概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。一、概率的公理化定义1.定义设为一样本空间，F为上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件AF，定义在F上的一个实值函数P（A）满足：（1）非负性公理：()0;PA3（2）正则性公理：()1;PA（3）可列可加性公理：若12,,,nAAA两两互不相容，有则称P（A）为事件A的概率，称三元素(,,)PF为概率空间。2.概率是关于事件的函数。二、排列与组合公式1.两大计数原理乘法原理，加法原理。介绍略。2.排列、组合的定义及计算公式（1）排列（2）重复排列（3）组合（4）重复组合三、确定概率的频率方法1.定义在n次独立重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数，称为事件A出现的频率。2.基本思想在与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件A的频率为()nfA，随着n的增加，()nfA会稳定在一常数附近，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率。3.说明频率稳定性的例子例投硬币n次，正、反面出现的概率分别为1/2;等。四、确定概率的古典方法1.基本思想（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n个；（2）每个样本点发生的可能性相等；（3）若事件A含有k个样本点，则A的概率为2.例（抽样模型）一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，求事件mA=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。分析略。解略。例（彩票模型）在35选7的彩票中，即从01，02，35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。求各等奖中奖的概率（附：中奖规则）分析略。解略。五、确定概率的几何方法1.基本思想（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区间，其度量可用S表示；（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：（3）若事件A为中的某个子区域，其度量为AS，则事件A的概率为P(A)=ASS。42.例（会面问题）甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。分析略。解略。六、确定概率的主观方法1.定义统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。2.例：气象预报中，“明天下雨的概率为90%”；一个教师认为,“甲能考取大学的可能性为95%”。1.3概率的性质本节包括概率的可加性、单调性、一般加法公式和连续性等内容，主要介绍概率的性质及利用性质计算概率。一、概率的可加性1.有限可加性若有限个事件12,,nAAA互不相容，则有证明略。2.对任一事件A，有：3.例抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。分析略。解略。二、概率的单调性1．若AB，则()()()PABPAPB。证明略。2．若AB，则()()PAPB。证明略。3.对任意两个事件A，B，有()()()PABPAPAB。证明略。4.例口袋中有编号为1,2,,N的N个球，从中有放回地任取M次，求取出的M个球的最大号码为K的概率。分析略。解略。三、概率的加法公式1．对任意两个事件A，B，有()()()()PABPAPBPAB。对任意n个事件12,,nAAA，有1121111()()()()(1)()nnniiijijkniijnijkniPAPAPAAPAAAPAAA分析略。证略。2.对任意两个事件A，B，有5()()()PABPAPB。证明略。例已知事件A，B，AB的概率为0.4，0.3，0.6，求()PAB。解略。四、概率的连续性1．定义对F中的任意单调不减的事件序列12,nFFF称可列并1nnF为nF的极限事件，记为1limnnnnFF。对F中的任意单调不增的事件序列12nEEE，称1nnE为nE的极限事件，记为1limnnnnEE。对F上的一个概率P，（1）若它对F中任一单调不减序列nF，均成立lim()(lim)nnnnPFPF，则称概率P是下连续的。（2）若它对F中的任一单调不增序列{}nE均成立lim()(lim)nnnnPEPE，则称概率P是上连续的。2.概率的连续性：若P是F上的概率，则P既是下连续又是上连续的。证明略。3.定理若P是F上满足()P=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的。证明略。1.4条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。一、条件概率的定义1.定义设A，B是样本空间中的两事件，若()0PB，则称为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。2.性质条件概率是概率，即若()0PB，则有6（1）(|)0,;PABAF（2）(|)1;PB（3）若F中的12,,nAAA，…两两互不相容，则证明略。二、乘法公式1.若()0PB，则若121()0,nPAAA证明略。2.例（罐子模型）设罐子中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加入c个同色球和d个异色球。记iB为“第i次取出的是黑球”，jR为“第j次取出的是红球”。求连续从罐中取出两个红球、一个黑球的概率。分析略。解略。注当c=-1,d=0时，为不返回抽样；当c=0,d=0时，为返回抽样；当c0,d=0时，为传染病模型；当c=0,d0时，为安全模型。三、全概率公式１．全概率公式：设12,,nBBB为样本空间的一个分割，即12,,nBBB两两互不相容，且1niiB，如果()0iPB，1,2,,in则对任意事件Ａ，有1()()(|)niiiPAPBPAB。证明略。２．例（摸彩模型）设在ｎ张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？分析略。解略。四、贝叶斯公式１．贝叶斯公式设12,,nBBB是样本空间的一个分割，即12,,nBBB两两互不相容，且1niiB，如果()0,PA()0iPB，则证明略。２．例某地区居民的肝癌发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解答略。小结条件概率的三大公式中，乘法公式是求交事件的概率，全概率公式是求一个复杂事件的概率，而贝叶7斯公式是求一个条件概率。1.5独立性本节内容包括两个事件的独立性、多个事件的相互独立性和试验的独立性等。主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题。一、两个事件的独立性定义如果对于事件Ａ，Ｂ，有()()()PABPAPB，则称事件Ａ,Ｂ相互独立，简称Ａ与Ｂ独立，否则称Ａ与Ｂ不独立或相依。二、多个事件的相互独立性１．定义：设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个事件，如果有()()()PABPAPB，()()()PACPAPC，()()()PBCPBPC，则称Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，若还有()()()()PABCPAPBPC，则称Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立。２．定义：设有ｎ个事件12,,nAAA，对任意的1ijkn，如果以下等式均成立()()()ijijPAAPAPA，()()()()ijkijkPAAAPAPAPA，1212()()()()nnPAAAPAPAPA，则称此ｎ个事件相互独立。３．例设Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立，试证AB与Ｃ相互独立。证明略。例有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为。甲先射，谁先命中谁得胜。问甲、乙两人获胜的概率各为多少？解略。三、试验的独立性1.定义设有两个试验1E和2E，假如试验1E的任意结果（事件）与试验2E的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。类似可定义“多个试验相互独立”的概念。2.例某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一次彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性是多少？解答略。第二章随机变量及其分布8一、教材说明本章内容包括随机变量及