平面向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式东A北45°Ｂ.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或复习引入(1,3),(1,0),.abab练习已知求与的夹角创设教学情境(1,3),(1,1),,.abab变式练习已知与的夹角求cos同样是已知两向量的坐标，为什么练习题中的夹角易求,而变式练习中的夹角的余弦值不易求？我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用abab和的坐标表示呢？(1,3),(1,0),.abab练习已知求与的夹角一.平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量.ij新课学习xijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)cosababiijjijji...110已知思考1：),,(),,(2211yxbyxa怎样用ba,的坐标表示呢？ba一.平面向量数量积的坐标表示ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)abyjyixa11jyixb22）（）（jyixjyixba22112121222112xxixyijxyjiyyj2121yyxxba两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2aaaaaa或；22222设a=(x,y),则a=x+y,或a=x+y二.向量的模和和夹角的坐标表示1.向量的长度（模）公式）（平面内两点间的距离），那么，），（，为（点的坐标分别的有向线段的起点和终若表示向量2211yxyxa212212）（）（yyxxa2.两向量夹角公式的坐标运算二.向量的模和和夹角的坐标表示babacos夹角为），（），，（两非零向量,2211yxbyxa212121212121yxyxyyxx0abab（1）垂直0),,(),,21212211yyxxbayxbyxa则（设3.两向量垂直和平行的坐标表示0//),,(),,12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行二.向量的模和和夹角的坐标表示注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚三、基本技能的形成与巩固.),1,1(),32,1((1)1的夹角与，，求已知例babababa1324232(13)1cos,0180,60.2abababab解:，　　　　　　.),4,2(),3,2((2)）（）则（已知bababa72013.7)1(740)1,4(),7,0(2222babababababababa）（）法二：（）（）（法一：练习1：课本P114例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB向量数量积是否为零，是判断相应两条线段或直线的重要方法之一思考：还有其他证明方法吗？练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.yBAOx），或（），的坐标为（答案：23272723B练习3：在ΔABC中，设AB=(1,3),AC=(2,k),且ΔABC是直角三角形，求k的值.要注意分类讨论！90A2解:若，则ABAC,ABAC=0,12+3k=0,k=-.390B8若，则BABC,BABC=0,-11+(-3)(k-3)=0,k=.390(C若，则CACB,CACB=0,-21)+(-k)(3-k)=0,k=1或2.四、逆向及综合运用例3（1）已知＝（4，3），向量是垂直于的单位向量，求.ab.//)2,1(,102的坐标，求，且）已知（ababa.43)5,(),0,3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba.532222222).54,53()54,53(1kbb））；（，）或（，）（（或）答案：（ab提高练习的坐标为，则点，，且，、已知CABBCOBACOBOA//)5,0()1,3(1)329,3(C2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k+2与2-4平行，则k=.abaabb－1评述:已知三角函数值求角时,应注意角的范围的确定。记a与b的夹角为θ，则4.已知则a与b的夹角是多少?=(1,3),=(3+1,1),1(31)3(1)4,2,22ababab解：由3有3，=(1,3),=(3+1,1)ab3，cosabab4cos又∵０≤θ≤π，∴3421abambabm5.已知（，），（，），且（）（），则实数为何值？解：），（mmbma423），（51ba）（）（babma0）（）（babma054123）（）即（mm323m小结１、理解各公式的正向及逆向运用；２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。