浙江大学概率论与数理统计(盛骤-第四版)

1数理统计2第八章假设检验关键词：假设检验正态总体参数的假设检验分布拟合检验秩和检验3§1假设检验统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。它包括（1）已知总体分布的形式，但不知其参数的情况，提出参数的假设，并根据样本进行检验.（2）在总体的分布函数完全未知的情况下，提出总体服从某个已知分布的假设，并根据样本进行检验.4例1设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：6.05.75.56.57.05.85.26.15.0根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0,0.36),现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？例2一种摄影药品被其制造商声称其贮藏寿命是均值180天、标准差不多于10天的正态分布。某位使用者担心标准差可能超过10天。他随机选取12个样品并测试，得到样本标准差为14天。根据样本有充分证据证明标准差大于10天吗？例3孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分证据拒绝该理论吗？5参数的假设检验问题处理步骤•1.根据实际问题的要求，提出原假设和备择假设；•2.根据样本X_i，确定检验统计量T(X_i)以及拒绝域（拒绝原假设的区域）的形式；•3.给定显著性水平，按照“在原假设H0成立时，拒绝原假设的概率不大于显著性水平”这一原则，确定拒绝域；•4．根据样本观测值作出决策，接受原假设还是拒绝原假设。1H0H6例1设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：6.05.75.56.57.05.85.26.15.0根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0,0.36),现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？1:6.0:6.0HH0原假设，备择假设,6.0.XXc检验统计量为检验拒绝域的形式为,解：设分别表示干燥时间总体的均值和标准差，由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的决策。这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数α(0α1)（称为显著性水平）,使得0(6.0)HPXc70.02565.87,0.671.96.0.26xxzxx根据样本得即不落在拒绝域内，与的差异不显著，因此接受原假设，认为干燥时间的均值与以往无显著差异。20.0256.01.960.2Xzz拒绝域为：220.690.05,~(6.0,0.6),~(6.0,)XNXN给定显著性水平当原假设成立时，总体因此，6.0(6.0)()0.630.63XcPXcP上述检验法则符合实际推断原理。8注释1：假设检验中的4种可能结果通常，犯第一类错误的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可以看作为“三方拔河”。决策原假设H0真的假的不拒绝H0拒绝H0正确决策第二类错误第一类错误正确决策第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策；第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。9这是一对矛盾，要同时减少犯第一、第二类错误，只有增大样本容量。5.425.42226.0()0.25.4(33)(3)0.2XPzXPzzz第二类错误的概率5.4例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率和时犯第二类错误的概率：626.0()0.2XPz解：第一类错误的概率2222(3)(3),,zzzz从中可以看出，当样本量固定时，，，；反之，。10注释2：假设检验与区间估计的比较。即拒绝域可以这样得到：将置信区间不等号反向，将原假设成立时的值代入到参数中即可。2~(,0.6)XN在上例中，若总体的均值未知，即12922,,...,,10.20.2XXXXzXz对于样本设置信度为－，则置信区间为：，210.2XPz即：001:6.0,:6.0,HH对于假设检验问题26.00.2Xz显著性水平为的检验拒绝域为：,0000221,,0.20.2XXPzPz26.00.2Xz接受域为：11§2正态总体均值方差的假设检验2,N一单个正态总体均值的检验2212,,,,,,nXXXNXS来自和分别为样本均值和方差显著性水平为010:,:HH021已知时0~0,1XHNn0在为真时，0Xcn检验拒绝域形式为：02,XPzn根据犯第一类错误概率不大于即02.XZzZn拒绝域为：检验法12010:,:HH0右边检验00~0,1,XHNn在为真时，(),kkznn故只要即便可，0.XZz因此，拒绝域为：n0010::,:.HH思考题左边检验请给出检验的拒绝域00::,(0):XkkXzn解答拒绝域形式为拒绝域为0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为0000PHHPXk当为真拒绝00kXPnn01()kn00(),kn0()kn由于是的增函数，21已知时1322未知时0~1XtnSn当原假设成立时,02:1XPtnSn拒绝域满足0XSn拒绝域的形式为:c,02(1)XttntSn因此,拒绝域为：检验法0t1220t0010:,:HH2(1)tn2(1)tn0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为20Xn由于未知，故不能用来确定拒绝域了。0SXtSn用的估计量代替，采用作检验统计量。14010:,:HH000~(1)XtnSn当时，(1)ktnSn即0(1).XttnSn因此，拒绝域为：0010::,:.HH思考题请给出检验的拒绝域00::,(0):(1)XkkXtnSn解答拒绝域形式为拒绝域为0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为0000PHHPXk当为真拒绝00kXPSnSn0XStSn由于未知，用估计量代替，采用作检验统计量。0XkPSnSn00XkPSnSn22未知时15例2某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布均未知。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取显著性水平为0.05）2(,),N2,01:225:225.HH0解：按题意需检验，0(1).XttnSn拒绝域为：0.0516,(15)1.7531.241.5,98.7259ntxs00.050.66851.7531(15).XttSn计算得：t没有落在拒绝域内，故接受原假设，认为元件的平均寿命不大于225小时。16例3要求某种元件的平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950小时，标准差为100小时。已知这批元件的寿命服从正态分布。试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格？01:1000:1000.HH0解：按题意需检验，0(1).XttnSn拒绝域为：0.0525,(24)1.7109.950,100ntxs00.052.51.7109(24).XttSn计算得：t落在拒绝域内，故拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命小于1000小时，不合格。17221122,,,NN二两个正态总体均值差的检验12212112212222221,,,,,,,,,,,,,,,,.nnXXXNYYYNXYSS来自来自,分别为第一二个总体的样本均值和方差显著性水平为未知12112:,:.()HH0为已知常数1212~211wXYttnnSnn在原假设成立时，1211wXYkXYcSnn检验拒绝域的形式为：即等价于21212211wXYttnntSnn检验拒绝域为：检验法221122221211,2其中18222212,未知121212211wXYtnnSnn当时，～221122221211,2其中012112:,:HH1211wXYcSnn检验拒绝域形式为：1212(2)11wXYttnnSnn从而，拒绝域为：19222212,未知121212211wXYtnnSnn当时，～221122221211,2其中012112:,:HH1211wXYcSnn检验拒绝域形式为：1212(2)11wXYttnnSnn从而，拒绝域为：20例4：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。各在一周的产品中取样分析。取用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公斤）。取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤）。设两样本独立，来自两个方差相同的独立正态总体。问在水平0.05下能否认为用原料B的产品平均重量较用原料A的为大。1122220,2.46,0.57205,2.55,0.48nxsnys；01HH1212解：检验假设:,:1212(2)11wXYtnnSnn拒绝域为：0.050.0512114231.645,0.535,0.097wtzsnn121.7331.64511wXYSnn计算得：,从而拒绝原假设。21基于成对数据的检验例5：为了试验两种不同谷物种子的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分为面积相同的两部分，分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。土地12345678910种子A(xi)23352942392937343528种子B(yi)26393540382436274127di=xi-yi-3-4-621517-61问：以这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异（取显著性水平为0.05)?2212111222212,),,),...,,),,,...,,,,...,(,).nnnnnDDYYYDXYDXYDXYDDDN12n分析：本题中每对数据的差异仅是由这两种种子的差异造成的，将每对数据作差就能排除其它因素的影响，从而能比较种子产量的差异。一般，设有n对独立的观测结果：(X(X(X令则相互独立，服从同一分布，设为1:0,:0DDHH0解：检验假设21,DdtnSn拒绝域为：0.0251092.2622,0.2,4.442,DntdS,查表得：0.1422.26