平行四边形;矩形-菱形-正方形的判定

平行四边形；矩形，菱形，正方形的判定学习目标：知识与技能目标：1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理；2.能够运用判定定理进行有关的计算和证明；3.了解反证法的定义。情感与态度目标：通过观察归纳，类比，推理，体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定性。二.重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理三.难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用四.教学过程：（一）知识梳理：知识点1：平行四边形的判定（I）文字语言：方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形方法4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法5：对角线互相平分的四边形是平行四边形（II）数学语言：∵AB//CD，AD//BC∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形∵AB//CD，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形∵OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形知识点2：反证法（I）步骤：（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，经推理论证，得出矛盾（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（II）说明：（1）找结论的反面要找得准确，全面（2）证题中的每一步都要有根据，直到推出矛盾（3）推出的矛盾有两种情况①与定义、定理、公理矛盾，②与已知矛盾知识点3：矩形的判定I.文字语言：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形方法2：对角线相等的平行四边形是矩形方法3：有3个角是直角的四边形是矩形数学语言：方法1：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°∴平行四边形ABCD是矩形方法2：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形方法3：∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形知识点4：菱形的判定（I）文字语言：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.4条边都相等的四边形是菱形（II）数学语言：1.在平行四边形ABCD中∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形2.在平行四边形ABCD中∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形3.∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形知识点5：正方形的判定（I）文字语言：1.有一组邻边相等的矩形是正方形2.有一个角是直角的菱形是正方形3.对角线相等的菱形是正方形4.对角线互相垂直的矩形是正方形（II）数学语言：1.在矩形ABCD中∵AB=BC∴矩形ABCD是正方形2.在菱形ABCD中∵∠A=90°∴菱形ABCD是正方形3.在菱形ABCD中∵AC=BD∴菱形ABCD是正方形4.在矩形ABCD中∵AC⊥BD∴矩形ABCD是正方形（二）实践探究例1.求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。解：已知，如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连接AC∵AB//CD∴∠1=∠2在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS）∴AB=CD又∵AB//CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）例2.已知：在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分于O，∠B=90°。求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵EF和AC互相平分∴OA=OC，OF=OE∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（SAS）∴AE=CF，∠OAE=∠OCF∴AB//CD又∵BE=DF∴AE＋EB=DF＋CF即AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵∠B=90°∴平行四边形ABCD是矩形例3.已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH，与平行四边形ABCD各边相交于点E、F、G、H。求证：四边形EFGH是菱形。证明：在平行四边形ABCD中∵OD=OB，OA=OC，AD//CB∴∠OBG=∠ODE又∵∠BOG=∠DOE∴△OBG≌△ODE∴OE=OG同理：△OAF≌△OCH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形又∵EG⊥FH∴平行四边形EFGH是菱形例4.在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE//AC交BC于E，DF//BC交AC于F。求证：四边形CEDF是正方形。证明：∵DE//AC，DF//BC∴四边形CEDF是平行四边形∵∠ACB=90°∴平行四边形CEDF是矩形∴∠DEC=∠DFC=90°∵CD是∠ACB的平分线∴DE=DF∴矩形CEDF是正方形例5.已知：将矩形ABCD沿EF折成如图所示的图形，D’F与BE相交于点G，延长C’E交AD于H，连接GH。求证：EF与GH互相垂直平分。证明：先证四边形FGEH是平行四边形再证：∠EFG=∠EFH=∠FEG所以四边形FGEH是菱形∴EF与GH互相垂直平分（三）课堂小结：1.本节学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，灵活地应用这些方法解决问题是学习本节的关键。2.本节学习中要注意比较，类比，它是全面灵活应用的前提条件。【模拟试题】（答题时间：20分钟）1.已知AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要增加一个条件。例如：AB//DC，除此之外，你还可以添加的条件是________________________（至少写出两种）2.爱动脑筋的小丽同学，为检验四边形桌面ABCD是否为矩形（如图），她用三角尺量了∠B=∠D=90°，用刻度尺量了AB=CD，就判断四边形桌面ABCD是矩形，请你说明道理。3.已知：BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线且交AB于点E，交BC于点F。求证：四边形BFDE是菱形。4.将一张矩形的纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE，CF折叠，这样得到四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想。5.如图，将矩形纸片ABCD的一角折叠，使宽CD落在长AD上，若将其余三个角也像这样折叠后，再将矩形纸片展平，得到4条折痕，它们相交于H，E，F，G。猜想4条折痕所围成的四边形是什么样的四边形？并证明你的猜想。【试题答案】1.AD=BC或∠B=∠D2.道理如下：连接AC可以证明Rt△ABC≌Rt△CDA∴∠BAC=∠DCA∴AB//CD又∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠B=90°∴平行四边形ABCD是矩形3.证明：∵EF是BD的垂直平分线∴EB=ED∴∠EBD=∠EDB同理∠FBD=∠FDB又∵BD平分∠ABC∴∠EBD=∠FBD∴∠FBD=∠EDB∠EBD=∠FDB∴BF//DE，BE//DF∴四边形BFDE是平行四边形又∵BE=ED∴平行四边形BFDE是菱形4.解：四边形AECF是菱形证明：∵A、C关于折痕EF对称∴EF垂直平分AC∴EA=EC，FA=FC∴∠1=∠3，∠2=∠4又∵AD//BC∴∠2=∠3∴∠1=∠2=∠3=∠4∴AE//FC∴四边形AECF是平行四边形又∵EA=EC∴平行四边形AECF是菱形5.解：四边形EFGH是正方形证明：∵M、C关于DP对称∴DM=DC∴∠DMC=∠DCM∵∠DMC=∠BCM∴∠BCM=∠DCM=45°∴∠DGC=90°同理：∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°∴四边形EFGH是矩形很容易证明△BEQ≌△CGP∴EQ=GP又∵FP=FQ∴FE=FG∴矩形EFGH是正方形