生物统计附试验设计第三章

1第三章平均数、标准差与变异系数•次数分布表和次数分布图，可以形象、直观地表示出资料的两个特征——集中性和离散性。•为了更简单、精确地描述资料的特征，本章介绍三个统计量——平均数、标准差和变异系数。•平均数反应资料的集中性，标准差和变异系数反应资料的离散性。2•第一节平均数•第二节标准差•第三节变异系数3第一节平均数(Mean)•平均数的意义•平均数用来描述资料的集中性，即指出资料中数据集中较多的中心位置。•平均数的作用•—平均数是资料的代表数•—常用于同类性质资料间的相互比较4•平均数的种类•—算术平均数(Arithmeticmean)（应用最为普遍）•—几何平均数(Geometricmean)•—中数（median）•—众数（Mode）•—调和平均数(HarmonicMean)5一、算术平均数•（一）算术平均数的定义•资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得的商，称为算术平均数。在统计学中，简称为平均数或均数。用符号表示。•（二）计算方法•1、直接法对样本含量较小，未分组的资料适用。x6•其中，（Sigma）为总和符号，表示从第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若在意义上已明确时，简记为。nxnxxxxniin121xniix17关于总和符号的几个性质•常数的总和等于该常数的n倍，即•代数和的总和等于总和的代数和，即••总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即nCCni1其中C为常数；注意：在后面一些章节经常会遇到C代表一个为常量的式子iiiiiizyxzyx)(njkiijkinjijxx1111iixaax（a为常数）82、加权法•适用于已分组的资料kkkfffxfxfxfx......212211ffxfxfkiikiii11各组的次数fi是权衡各组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权”（right）,加权法也由此而得名。xi—各组组中值fi—各组次数k—分组数9(三)平均数的基本性质•1、样本各个观察值与平均数之差的和为零，即离均差之和为零；•2、样本各观察值与平均数之差的平方和为最小，即离均差的平方和最小。0,0)(1）（简记为xxxxnii221212)()()()(axxxxaaxxxniinii）（简记为：常数1022)()(axxx)2()2(2222naxaxxnxxx))(()(2axxanxax0)())(()()2(2xanaxnxanaxxaxnnaxxa）（）（11•3、统计学已证明，样本平均数是总体平均数的无偏估计值。•对总体而言，用表示平均数。•对于有限总体•无偏估计：当一个统计量的数学期望值等于相应总体参数时，称该统计量为其总体参数的无偏估计。NxNii1N——有限总体所包含的个体数目x12二、几何平均数•（一）定义n个观察值乘积的n次方根。即•（二）适用条件•主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资料，算术平均数对这类资料的代表性差。•（三）计算nnnnxxxxxxG1)....(....2121131、应用公式计算（实际应用时常取对数）nnxxxG21nxxxnGlglglg1lg21niixn1lg1niixnG11lg1lg14•2、当资料编成次数分布表时，)lg(lg1fxfGi—各组组中值；—各组次数；ixif15三、中数•（一）定义将资料中所有观察值从小到大依次排列，处于中间位置的数。以表示。•（二）适用条件资料呈偏态分布或次数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值,这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。dM16•（三）计算方法•先将各观察值由小到大排列•当n为奇数时，第位置的观察值即为中数，•即•当n为偶数时，和位置的两个观察值之和的二分之一即为中数，即：2/)1(n2/)1(ndxM2/n12/n2)12/(2/nndxxM17•（一）众数•资料中出现次数最多的那个数或次数最多一组的组中值，记为Mo。•（二）调和平均数指资料中各观察值倒数的平均数的倒数，用H表示。主要用于求一个过程中各部分速率的平均速率。inxnxxxnH1)111(1121四、众数和调和平均数18对同一资料，几种主要的平均数之间的关系算术平均数几何平均数调和平均数19第二节标准差(Standarddeviation)•平均数是资料的代表数，其代表性强弱受资料中各观察值变异程度的影响。•因此还应引入一个能说明资料各观察值变异程度大小的统计量。•—极差•—标准差和方差•—变异系数等，其中以方差与标准差应用最广。20•一、标准差的引入•1、全距（极差）：只利用了资料中最大值和最小值，不能准确表达资料中各个观察值的变异程度。•2、方差与标准差的定义21)(xx0)(xxxx它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度使用不方便，在统计学中未被采用)(xx2)(xx2)(xx)1/()(2nxx)1/()(2nxxs消除离均差的负号离均差的平方之和（简称平方和，记为SS）称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2标准差22)1/()(22nxxS样本方差（S2）/样本均方（MS）)1/()(2nxxS样本标准差（S）对样本而言对有限总体而言Nx/)(22总体方差（σ2）Nx/)(2总体标准差（σ）232)(xxSS)2(22xxxx222xnxxxnxxnxnxnxx2222)()(224•样本方差的分母（n-1）为样本方差的自由度，记为df•自由度（df）：样本含量减去独立约束条件的个数25二、标准差的计算•（一）直接法•（二）加权法1/)(22nnxxs1/)(1)(222iiiiiiiiiffxfxffxxfs26•三、标准差的特性•（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响;•（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变;•（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。27•（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（±2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（±3S）范围内。•即全距近似地等于6倍标准差，•可用来粗略估计标准差。xxx6全距28第三节变异系数（Coefficientofvariation）•（1）变异系数的定义•变异系数是标准差相对于平均数的百分数，记为CV。•变异系数同标准差一样是衡量资料变异程度的统计量。变异系数消除了不同单位和平均数的影响，可以用来比较不同资料的相对变异程度。•（2）计算公式%100xscv29•（3）特点和作用•变异系数是一个无单位的相对数，用％表示；•变异系数同时受到平均数和标准差的影响。•变异系数不受单位不同或平均数不同的影响，对于单位不同和平均数不同的资料，都可以用变异系数来比较其变异程度。30•本章涉及的一些重要符号0,,,,,,MMHGxRddfMSSS,,),(,22VC.