Pythagoras完全比例的推广研究

1Pythagoras完全比例的推广研究（110001中国医科大学数学教研室李明362000福建省泉州市现代中学富明远）摘要：运用类比思想试着将Pythagoras完全比例从2元推广至一般的n元(2n)，提出了“n元平均完全比例”的概念，并运用归纳法对“n元平均完全比例”成立的充要条件进行了研究.最后，定义了更一般的“n元次幂平均完全比例”，并指出它成立的条件和“n元平均完全比例”成立的条件一致.关键词：完全比例推广n元平均充要条件幂平均Abstract:TrytoextendthePythagorasperfectproportionfrom2variablestothegeneraln(2n)variablesbyanalogy,andraisetheconcept“n-variablemeanperfectproportion”,thenreaserhthesufficientandnecessaryconditionfortheholdingofthe“n-variablemeanperfectproportion”.Finally,defineamuchmoregeneralconcept“n-variableand-powermeanperfectproportion”,andindicatethattheconditionmakingitholdisjustthatmakingthe“n-variablemeanperfectproportion”hold.Keywords:perfectproportiongeneralizationn-variablemeansufficientandnecessaryconditionpowermean一、问题的提出若,ab为两正数，其算术平均2abA，几何平均Gab，调和平均112Hab，则这三个2元平均恒满足AGGH,该式被Pythagoras学派称为完全比例【1】.一般地，若12,,,naaa为n(2n)个正数，其算术平均12nnaaaAn，几何平均112nnnGaaa，调和平均11112nnnHaaa，我们称nnnnAGGH为由12,,,naaa生成的“n元平均完全比例”.作为Pythagoras完全比例的推广，2n时它恒成立；而3n时，它成立的充要条件是什么呢？下文将给出此问题的部分答案.二、“3元和4元平均完全比例”成立的充要条件定理我们研究发现“3元平均完全比例”成立的充要条件可归结为如下的定理：定理1：由三个正数123,,aaa生成的“3元平均完全比例”3333AGGH成立，当且仅当123,,aaa能够按照某个顺序排成等比数列.证明：3333AGGH2333AHG33123123231312()()aaaaaaaaaaaa3312312312312[()][()]aaaaaaaaaaa33433223312123121231231231212312()3()()3()aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa33332243312123123121231212312312[()()][3()3()][]0aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa322221231231212331212312312()()3()()()()0aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3221231212312312123[()3()()]()0aaaaaaaaaaaaaaaa323222131232312123[()()]()0aaaaaaaaaaaa2222123213312()()()0aaaaaaaaa123,,aaa能够按照某个顺序排成等比数列.类似地，我们也得到了“4元平均完全比例”成立的充要条件，归结为如下的定理：定理2：由四个正数1234,,,aaaa生成的“4元平均完全比例”4444AGGH成立，当且仅当1234,,,aaaa中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.证明：4444AGGH2444AHG2212341234234134124123()()aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa221234123412343412[()()][()()]aaaaaaaaaaaaaaaa2222222212123434123412343412()()()()aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2222222212123412343412343412[()()][()()]0aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa221234123434123412()()()()0aaaaaaaaaaaaaaaa22123434121234[()()]()0aaaaaaaaaaaa22221343122344121234[()()]()0aaaaaaaaaaaaaaaa142313241234()()()0aaaaaaaaaaaa1234,,aaaa,中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.三、“n（5n）元平均完全比例”成立的充分条件证明及必要条件探究由定理1和定理2，通过类比和归纳，我们给出如下猜测：猜测1：由n（5n）个正数12,,,naaa生成的“n元平均完全比例”成立，当且仅当12,,,naaa单调重排后，所有对称项之积均相等.下面来证明猜测1给出的条件是“n元平均完全比例”成立的充分条件.证明：设(1)(2)(),,naaa,是12,,,naaa的单调重排.（1）当n为偶数时，由于(1)()(2)(1)()(1)22nnnnaaaaaa，于是1211112nnnnaaaAHaaa(1)(2)()111111(1)()(2)(1)()(1)22()()()nnnnnaaaaaaaaa(1)()naa，又2212()nnnGaaa2(1)()(2)(1)()(1)22[()()()]nnnnnaaaaaa(1)()naa，于是2nnnAHG，即nnnnAGGH成立.（2）当n为奇数时，由于2(1)()(2)(1)131()()()222nnnnnaaaaaaa.于是1211112nnnnaaaAHaaa(1)(2)()1111111(1)()(2)(1)131()()()222()()()nnnnnnaaaaaaaaaa(1)()naa，又2212()nnnGaaa2(1)()(2)(1)131()()()222[()()()]nnnnnnaaaaaaa(1)()naa，于是2nnnAHG，即nnnnAGGH成立.综合（1）、（2），我们便证实了“n（5n）元平均完全比例”成立的充分条件.至于该充分条件是否为“n（5n）元平均完全比例”成立的必要条件，还有待进一步研究.四、“n元次幂平均完全比例”成立的充要条件探究3事实上，对于n个正数12,,,naaa的算术平均nA、几何平均nG和调和平均nH，我们有一个统一且更加广泛的平均概念，即“n元次幂平均”【2】，记为：112,112()(2,,0)(2,0)nnnnaaanRnMaaan显然，Pythagoras完全比例就是2,12,02,02,1MMMM，而“n元平均完全比例”就是,1,0,0,1nnnnMMMM，于是我们可以定义更一般的“n元次幂平均完全比例”为：若12,,,naaa为n(2n)个正数，则我们称,,0,0,nnnnMMMM为由n(2n)个正数12,,,naaa生成的“n元次幂平均完全比例”.这个更一般的完全比例成立的充要条件如何呢？实际上，稍加推理就会发现其成立的充要条件与“n元平均完全比例”成立的充要条件是一致的，即：（1）2n时，“2元次幂平均完全比例”恒成立.（2）3n时，“3元次幂平均完全比例”成立，当且仅当生成此完全比例的三个正数能够按照某个顺序排成等比数列.（3）4n时，“4元次幂平均完全比例”成立，当且仅当生成此完全比例的四个正数中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.（4）5n时，“n元次幂平均完全比例”成立的充分条件是：生成此完全比例的n个正数单调重排后，对称项之积相等.至于此充分条件能否成为“n元次幂平均完全比例”成立的必要条件，还有待于猜测1的解决.参考文献[1][美]莫里斯·克莱因著.古今数学思想（第一册），张理京，张锦炎，江泽涵译.上海科学技术出版社.2002年7月第一版.第37页.[2]靳平主编.数学的100个基本问题.山西科学技术出版社.2004年1月第一版.第105页.作者简介：李明，男，1981年生，辽宁沈阳人，应用数学硕士，讲师，中国数学会会员，全国初等数学研究会理事，中国不等式研究小组成员，《不等式研究通讯》责任编辑，已发论文12篇.研究方向：分析不等式，几何不等式.声明：该文已公开发表于《中国初等数学研究》2009年第1期，未经允许，谢绝转载.