矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

目录摘要.......................................................................................................................I引言.........................................................................................................................11矩阵间的三种关系..............................................................................................11.1矩阵的等价关系...............................................................................................11.2矩阵的合同关系.............................................................................................11.3.矩阵的相似关系..............................................................................................22矩阵的等价、合同和相似之间的联系.............................................................33矩阵的等价、合同和相似之间的区别..............................................................5结束语.....................................................................................................................6参考文献.................................................................................................................6内江师范学院本科学年论文I摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件内江师范学院本科学年论文1引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1矩阵的等价关系定义1两个sn矩阵,AB等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使BPAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.性质1（1）反身性：即AA.（2）对称性：若AB，则BA（3）传递性：即若AB，BC，则AC定理1若A为mn矩阵，且()rAr，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），使得000rmnIPAQB.其中rI为r阶单位矩阵.推论1设AB、是两mn矩阵，则AB当且仅当()()rArB.1.2矩阵的合同关系定义2设,AB均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得TPAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,TPAPB内江师范学院本科学年论文2性质2（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212rfyyy1.3.矩阵的相似关系定义3设,AB均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得BAPP1,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得BAPP1性质3(1)反身性TAEAE;(2)对称性由TBCAC即得11TACBC;（3）传递性111TACAC和2212TACAC即得21212TACCACC总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)11111221122()PkAkAPkPAPkPAP（其中12,kk是任意常数）；(5）1111212()()()PAAPPAPPAP；(6）若A与B相似，则mA与mB相似（m为正整数）；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果1BPAP为满秩矩阵，那么11111()BPAPPAP.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；内江师范学院本科学年论文3因为如果1BPAP，则有：11BPAPPAPA(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1BPAP，若B可逆，则11111()BPAPPAP从而A可逆.且1B与1A相似.若B不可逆，则1()PAP不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.2矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设n阶方阵,AB相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵1P，使得111PAPB，此时若记11PP,1QP,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵,AB等价反过来，对于矩阵100010A,121010B等价，但是A与B并不相似，即等价矩阵未必相似．定理6对于n阶方阵,AB，若存在n阶可逆矩阵,PQ使PAQB,(即A与B等价)，且PQE(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似．证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵,PQ,使PAQB,即A与B等价．又知PQE,若记11PP,那么1QP,也即111PAPB,则矩阵,AB也相似．定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设n阶方阵,AB合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵1P，使得11TPAPB，若记1TPP,1QP,则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵,AB等价内江师范学院本科学年论文4反过来对于矩阵1001A,1201B等价，但是A与B并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P,即TPPE使得1PAPB即~AB，则有1TBPAPPAP，即A与B合同.同理，若存在一个正交矩阵P，即TPPE使得TPAPB即A与B合同，则有1~TBPAPPAPAB由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A与B正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同．证明：设A与B的特征根均为n,,21因为A与n阶实对称矩阵，则一定存在一个n阶正交矩阵Q使得nAQQ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P使得nBPP..211从而有BPPAQQ11将上式两边左乘P和右乘1P,得1111111QPAQPQPAQPPQB由于TQQE,TPPE,1PPE有1111111TTTTQPQPPQQPPEPPPE,所以，1PQ是正交矩阵，由内江师范学院本科学年论文5定理8知A与B相似．定理10若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同．证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取UA,有111UABUAABAAABABA，则AB与BA相似，又知A是正交阵，所以AB与BA既相似又合同．定理11若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有CA00与DB00既相似又合同．证明:因为A与B,C与D相似，故存在可逆矩阵1P,2P，使111122,PAPBPCPD,令1200PPP,则1111200PPP且10000ABPPCD,故CA00与DB00相似．又因为A与B合同，C与D合同,故存在可逆矩阵12,QQ,122,TTQAQBQCQD令1200QQQ而1200TTTQQQ11112222000000000000TTTTTQQAAQQAQQQQCCQQC11220000TTBQAQDQCQ故CA00与DB00合同．3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件内江师范学院本科学年论文6c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解