勾股定理逆定理(提高)知识讲解

勾股定理逆定理（提高）【学习目标】1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.4.掌握两点间的距离公式，并能应用.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长abc，，，满足222abc，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与22ab是否具有相等关系.若222cab，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若222cab，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当222abc时，此三角形为钝角三角形；当222abc时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以xyz、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(abc、、)是勾股数，当t为正整数时，以atbtct、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121nnn，，（1,nn是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221nnnnn（n是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2mnmnmn（,mnmn、是自然数）是直角三角形的三条边长；要点四、两点间的距离公式在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点A1xy，、B2xy，两点的距离AB12||xx；y轴或平行于y轴的直线上的两点C1xy，、D2xy，的距离CD12||yy.两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A11xy，、B22xy，，那么A、的B两点的距离AB221212xxyy.要点诠释：当A11xy，、B22xy，同在x轴或平行于x轴的直线上时，12yy；当A、B同在y轴或平行于y轴的直线上时，12xx.【典型例题】类型一、勾股定理逆定理的应用1、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案与解析】解：∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，222222(23)16BDABAD．∴BD＝4，∴12ABBD，可知∠ADB＝30°，在△BDC中，22216325BDCD，22525BC，∴222BDCDBC，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，22222228DPCPCD．又∵PB＝1，则21PB．∵29DB，∴22819DBDPPB，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．2、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵22222216925=PQQCaaaPC∴△PQC是直角三角形．【总结升华】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．类型三、勾股定理逆定理的实际应用3、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵22222251216913ABBCAC，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可设CD＝x，∴22222212,(13)5,xBDxBD①②①－②得2216926119xxx，解得14413x．∴1441441313169≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．类型三、两点间的距离公式4、如图所示，在平面直角坐标系中，A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(9，0)．请判断AB与AC有怎样的位置关系，并说明理由．【答案与解析】解：由两点间的距离公式：AB22013010，AC22093090，BC|91|10.∴221090100ABAC，2210100BC．∴222ABACBC．∴△ABC为直角三角形，∴AB⊥AC．【总结升华】在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外，在平面直角坐标系中，只要知道两点的坐标，便可求出线段的长度．举一反三：【变式】已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，1），在x轴上求一点C，使得点C到A、B两点的距离相等．【答案】解：由图，已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，1），设C（0x，）因为AC=BC所以2222120410xx解得2x所以C（2,0）