2012-2018全国卷圆锥曲线(理科)

12012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，准线为l，AC．已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点．（Ⅰ）若90BFD，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程．（Ⅱ）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,mn距离的比值．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,AB两点，当圆P的半径最长时，求||AB．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线(0)ykxaa交于,MN两点．(Ⅰ)当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由．25．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题)(本小题满分12分)设圆222150xyx的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于,CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(I)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于,MN两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于,PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．6.(2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题)(本小题满分12分)已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第19题)(本小题满分12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：．2222=1xyab3232xOBDCAyE32012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，准线为l，AC．已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点．（Ⅰ）若90BFD，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程．（Ⅱ）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,mn距离的比值．【解析】(Ⅰ)由对称性知BFD是等腰直角三角形，斜边||2BDp，点A到准线l的距离||||2dFAFBp，由1||422ABDSBDd得2p．圆F的方程为22(1)8xy．（Ⅱ）由对称性设2000(,)(0)2xAxxp，则(0,)2pF．由点,AB关于点F对称得200(,)2xBxpp，从而2022xppp，所以2203xp．因此3(3,)2pAp，直线322:23pppmyxp，即3302pxy．又22122xpyyxp，求导得1'3xyp，即3px，从而切点(,)63ppP．又直线1:()633ppnyx，即3023pxy．故坐标原点到直线,mn距离的比值为32323pp．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,AB两点，当圆P的半径最长时，4求||AB．【解析】由已知得圆M的圆心为(1,0)M，半径11r，圆N的圆心为(1,0)N，半径23r．设动圆P的圆心为(,)Pxy，半径为R．(Ⅰ)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以1212||||()()4PMPNRrrRrr，且4||MN．由椭圆的定义可知，曲线C是以,MN为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43xyx．(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,)Pxy，由于||||222PMPNR，所以2R．当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，2R．∴当圆P的半径最长时，其方程为22(2)4xy．当l的倾斜角为90时，l与y轴重合，可得||23AB．当l的倾斜角不为90时，由1rR知l不平行x轴．设l与x轴的交点为Q，则1||||QPRQMr，可求得(4,0)Q，∴设:(4)lykx，由l与圆M相切得2|3|11kk，解得24k．当24k时，将224yx代入221(2)43xyx整理得27880xx．(*)设1122(,),(,)AxyBxy，则12,xx是(*)方程的两根．所以1287xx，1287xx．22212121218||1||1()47ABkxxkxxxx．当24k时，由对称性知18||7AB．综上，||23AB或18||7AB．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．53．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程．【解析】(Ⅰ)设,0Fc，由条件知2233c，得3c．又32ca，所以2a，2221bac，故E的方程2214xy．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为2ykx，联立直线与椭圆方程：22142xyykx，化简得：22(14k)16120xkx．∵216(43)0k，∴234k．设1122(,),(,)PxyQxy，则1212221612,1414kxxxxkk，∴222122443=1=11+4kPQkxxkk，且坐标原点O到直线l的距离为221dk．因此22222214432443121+41+41OPQkkSkkkk，令243(0)tkt，则244,044OPQtStttt．∵44tt，当且仅当4tt，即2t时，等号成立，∴1OPQS．故当2t，即2432k，72k时OPQ的面积最大．此时，直线l的方程为722yx．【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想．64．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线(0)ykxaa交于,MN两点．(Ⅰ)当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题设可得(2,),(2,)MaaNaa或(2,),(2,)MaaNaa．又=2xy，故24xy在2xa处的导数值为a．在点(2,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya．224xyxa在处的导数值为a．在点(2,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya．故所求切线方程为0axya和0axya．(Ⅱ)存在符合题意的点P．证明如下：设(0,)Pb为符合题意的点，1122(,),(,)MxyNxy，直线,PMPN的斜率分别为12,kk．将ykxa代入C的方程，消去y整理得2440xkxa，则12,xx是该方程的两根．故12124,4.xxkxxa从而1212121212122()()()ybybkxxabxxkabkkxxxxa．当ba时，有120kk，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN．所以点(0,)Pa符合题意．【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题)(本小题满分12分)设圆222150xyx的圆心为A，直线l过点(0,1)B且与x轴不重合，l交圆A于,CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(I)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于,MN两点，过B且与xOBDCAyE7l垂直的直线与圆A交于,PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解析】(I)因为ADAC，EBAC∥，故EBDACDADC．所以EBED，故EAEBEAEDAD又圆A标准方程为22116xy，从而4AD，所以4EAEB．由题设得1,0,1,0,2ABAB，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为22143xy，(0y)；(II)（法一）当l与x轴不垂直时，设:10lykxk，1122,,,MxyNxy由221143ykxxy得22224384120kxkxk．则2122843kxxk，212241243kxxk所以22122121143kMNkxxk．过点1,0B且与l垂直的直线1:1myxk，A到m的距离为221k，所以2222224324411kPQkk．故四边形MPNQ的面积为211121243SMNPQk当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,83当l与x轴垂直时，其方程为1x，3MN，8PQ四边形MPNQ的面积12．综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为12,83．（法二）221:143xyC；设:1lxmy，因为PQl⊥，设:1PQymx，联立1lC与椭圆xyOBNAPQM8221143xmyxy得2234690mymy；则2222222363634121||1||13434MNmmmMNmyymmm；圆心A到PQ距离22|11||2|11mmdmm，所以2222224434||2||21611mmPQAQdmm，222212111434||||22341MPNQmmSMNPQmm22224112412,8313431mmm．【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：（1）根据椭圆的对称性可以排除P1（1,1）。（2）联立方程即可