2019高考人A(理)数学一轮复习课件：-第2章-第3节-函数的奇偶性、周期性与对称性

返回导航2019版高三一轮第章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性、周期性与对称性双基自主测评题型分类突破栏目导航课时分层训练返回导航2019版高三一轮(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．f(－x)＝f(x)y轴原点f(－x)＝－f(x)返回导航2019版高三一轮2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数返回导航2019版高三一轮3．函数的对称性常见的结论(1)函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．返回导航2019版高三一轮(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．返回导航2019版高三一轮[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．返回导航2019版高三一轮2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．返回导航2019版高三一轮[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()返回导航2019版高三一轮[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√返回导航2019版高三一轮2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]返回导航2019版高三一轮3．(教材改编)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－xD[D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]返回导航2019版高三一轮4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2B[∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]返回导航2019版高三一轮5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.返回导航2019版高三一轮12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]返回导航2019版高三一轮函数奇偶性的判断(对应学生用书第14页)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝ln(x2＋1＋x)；(3)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(4)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.返回导航2019版高三一轮[解](1)由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，∴f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．返回导航2019版高三一轮(2)f(x)的定义域为R，f(－x)＝(lnx2＋1－x)＝ln1x2＋1＋x＝－ln(x2＋1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．返回导航2019版高三一轮(3)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．返回导航2019版高三一轮(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．返回导航2019版高三一轮[规律方法]判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法返回导航2019版高三一轮(2)图象法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．返回导航2019版高三一轮[跟踪训练](1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()A．y＝cosxB．y＝xC．y＝2|x|D．y＝|lgx|返回导航2019版高三一轮(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数返回导航2019版高三一轮(1)C(2)C[(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B，D；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A；y＝2|x|是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C正确，故选C．(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．返回导航2019版高三一轮C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]返回导航2019版高三一轮函数的周期性(1)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(2)＝________.【导学号：97190031】(2)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1fx，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值为________．返回导航2019版高三一轮(1)－2(2)1347[(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f－52＝f－12＝－f12＝－412＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f－52＋f(2)＝－2＋0＝－2.(2)∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4.返回导航2019版高三一轮又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1f1＝－1，f(4)＝－1f2＝－13.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)＋f(504×4＋3)＝5041＋3－1－13＋1＋3－1＝1347.]返回导航2019版高三一轮[规律方法]1判断函数的周期只需证明fx＋T＝fxT≠0便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期.返回导航2019版高三一轮[跟踪训练]已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝lg(x＋1)，则f20165＋lg18＝________.1[由函数f(x)是周期为2的奇函数，得f20165＝f65＝f－45＝－f45＝－lg95＝lg59，故f20165＋lg18＝lg59＋lg18＝lg10＝1.]返回导航2019版高三一轮函数性质的综合应用◎角度1单调性与奇偶性结合(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]返回导航2019版高三一轮D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D．]返回导航2019版高三一轮◎角度2奇偶性与周期性结合(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.返回导航2019版高三一轮6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]返回导航2019版高三一轮◎角度3单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)返回导航2019版高三一轮(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，当x∈[0,2]时，y＝f(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是________．①