光纤光学

光纤光学大作业学院:航天学院班级:1121101学号:1112110114姓名:卯宁题目:试分析影响光纤中光场分布的诸因素。分别说明n=const，n=n（r）和n=n（x，y，z）三种情况下，求光纤中场解的方法。一、影响光纤中场解的因素：光是电磁波，它具有电磁波的通性。与无线电波相比，只不过光波的频率要高很多。因此，光波在光纤中传输的一些基本性质都可以从电磁场的基本方程推导出来，这些方程就是麦克斯韦方程组。真空中的电磁场由电场强度E和磁感强度B两矢量描述，而为描述场对物质的作用，例如光波在透明介质中的传播情况，需要在引进电感强度D和磁场强度H以及电流密度j的三个矢量。在场中每一点吗，这五个矢量随时间和空间的变化关系由下述麦克斯韦方程组给出：DH=j1tBE=2tB03D4式中，为场电荷密度；为哈密顿算符：xyzlllyzxxl、yl、zl为沿x，y，z的单位矢量。由于利用式（1）和式（2），以及电荷不灭定律：jt可以推导出式（3）和式（4），所以式（1）和式（2）是最基本的方程。但是为了求解E、D、B、H，除这两个基本方程外，尚须联系它们的物质方程。物质方程随电磁场所在的介质而异。如果介质为各向异性，又不均匀，则有D(r)(r)E(r)5B(r)(r)H(r)6式中，(r)、(r)分别为介质的张量介电系数和张量磁导率，代表物质的各向异性。对于各向异性物质一般而言，E和D方向不同，H和B方向不同。对于各向同性介质则有DE7BH8式中，=r=r（），（）。这时D、E同向，H、B同向。麦克斯韦方程只给出场与场源之间的关系，既E、D、B、H之间的相互关系。为了求光波在光纤中的传播规律，应进一步求出每一个量随时间和空间的变化规律，也就是要从麦克斯韦方程组中求解E、H诸量随时空的变化关系。下面对于各向同性的介质进行推导。由此进行以下推导：2222()()9()()()10()11()()()13BHEttEHHHjEEttEEEHHEjtttt()()1412EEEHHEEttE设与时间无关。把式（12）式（14）代入式（11），可得222()()15EjEEEtt同理，对于矢量H有222HH(H)Hjj16t式（15）和式（16）就是各向同性、非均匀介质中的波动方程，这是一个相当复杂的方程。在透明介质中可进行简化处理22220022022220022()17191820EEEEEttHHHHHtt这就是最简单的波动方程。对于单色光波：0000()()exp[()]exp[]()()exp[()]exp[]ErErikritHrHrikrit222/,/tit式（17）和式（18）可变为如下两式：2222()2122EEkEHHkH相应的式（19）和式（20）可变为：22220230024EkEHkH时，其中222222000000,2/rrknkkk，r和n为光纤材料的相对介电系数和折射率；02/k是真空中的波数；为真空中光波波长。上两式是矢量的Helmholtz方程。在直角坐标系中，E、H的x、y、z、分量均满足Helmholtz方程：22025k。由以上分析推导可知光纤内场分布与光纤材料、光纤折射率分布有关，与光波入射角度有关，也与光波波长有关。二、三种折射率分布下光纤场解由上面波动方程的推导可见，影响光波导传输特性的，主要是折射率的空间分布。在上述讨论中以假定这种分布是线性、时不变、各向同性，既n=n（x，y，z）。为此可根据折射率的空间分布，将光波导分类如下：纵向均匀横向分层均匀的光波导（均匀光波导）（正规光波导）横向非均匀的光波导（非均匀光波导）线性光波导纵向非均匀缓变光波导（非正规光波导）迅变光波导突变光波导这种分类方法便于理论分析：不同类型的光波导相应于求解不同类型的微分方程。至于世纪的光纤，可根据需要划分为其中的某一类。为求解波动方程，尚应注意光纤结构的特征：纵向（光纤的轴向，激光传输的方向）和横向的差别，这是光纤的基本特征。这个基本特征决定了光纤中纵向和横向场解的不同。对于正规光波导，他表现出明显的导光性质，而由正规光波导引出的模式的概念，则是光波导理论中最基本的概念。如上所述，正规光波导是指其折射率分布沿纵向（z向）不变的光波导，其数学描述为n（x，y，z）=n（x，y）可以证明，在正规光波导中，光场的横向分量和纵向分量可用分离的形式表示为()(,,,)(,)26itzeExyztxyeHh若不涉及光纤中的非线性问题，则光波在光纤中传输时w保持不变。这种情况下，tie项可略去，上式可化简为：(,,,)(,)27izeExyztxyeHh式中，为相移常数，或称传播常数；e（x，y）和h（x，y）都是复矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了E、H沿光纤横截面的分布，称为模式场。把式（27）代入Helmholtz方程式（21）和式（22），并经过计算，可得一个只有（x，y）两个变量的偏微分方程：222222[()]()()028[()]()()0ttttzttttzkeeilekhhilh式中，下标t表示为垂直于z方向的横向；zl为沿z方向的单位矢量。根据偏微分方程理论，对于给定的边界条件，上述方程有无穷个离散的特征解，并可进行排序。每一个特征解为：(,)iiiziexyeh于是称上述方程的一个特征解为一个模式，光纤中总的光场分布则是这些模式的线性组合：(,)iiiiziiiaeExyeHbh式中，ia、ib是分解系数，表示该模式的相对大小。一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。模式是光波导中的一个基本概念，它具有以下特性：（a）稳定性。一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，既沿z方向有稳定的分布。（b）有序性。模式是波动方程的一系列特征解，是离散的、可以排序的。排序方法有两种，一种是以传播常数的大小排序，越大序号越小；另一种是以（x，y）两个自变量排序所以有两列序号。（c）叠加性。光波导中总的场分布是这些模式的线性叠加。（d）正交性。一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系。对于一个光波导，设（E，H）是一个模式，（E’,H’）是另一个模式，它们分别满足00(,)(,)ikikizizikeeEExyexyeHhHhEiHEiHHiEHiE‘’‘‘；且满足，；则可以正下式成立：**()()0,()ikkiAAehdAehdAik式中，A为积分范围；角标*表示去共轭。这就是模式正交性的数学表达式。由于光纤结构的纵向（z向）和横向差别极大，因此在求解光纤中的光场时可分解为纵向分量和横向分量之和：tztzEEEHHH下标t分别相当于纵向和横向。微分算符也可以表示为横向和纵向的叠加，即tzzl式中zl为z方向的单位矢量。代入各向同性的麦克斯韦方程组，并使等式两边纵向和横向分量各自相等，则可得0z2930ttzttEiHHiE横向分量的横截面分布式有旋的表明：取决于纵向分量03132ttzztttxztEEliHzHHliEz纵向分量的横截面分布的旋度表明：取决于横向分量和各自的纵向分量对于三维模式场：,tztzeeehhh于是：ttzz-zttzzEeEe=34HhHhie代入任意光波导的光场的纵向分量与横向分量的关系式（29）（32），可得0tz0zteh35he36eeh37hhe38ttzttzztttztiiiliili由上面的后两式，利用tzztzele，和tzztzhlh可得00zttztzzttztzileihleilhielh再利用zzttllee，可得：0220220[]39[]tztztztztztzielheihleh–说明：•横向分量可以由纵向分量随横截面的分布唯一地确定•ez和hz在时间上同相位•ez、hz为实数，et和ht必为纯虚数存在90°相位差，即******=()()=0tztzttzttzpEHeehheheheh沿z方向沿横向有功振荡，但不传输传输功率由以上可知，光纤中的光场分布和自由空间中的光场分布有明显差别：一是光纤中的光波无横波；二是光纤中的场解是分离的。1、n=const：1.1单层均匀折射率光纤中的模场的求解一般有两种方法：矢量法和标量法。矢量法是求解E、H两个特征参量的三个分量，是一种精确的求解方法。标量法则是认为光纤中模场的横向分量无取向性，即各方向机会均等。矢量法和标量法的求解过程不同，所得结果和模场的表示方法也有差别。查阅资料时应注意。矢量法是先求纵向分量，再由已求得的纵向分量（z分量）求横向分量（x、y分量）。标量法则是先求横向分量，再由横向分量求纵向分量。均匀折射率光纤是圆均匀波导。它具有上述均匀波导的一般特征。1.存在传输模均匀折射率光纤中必定存在传输模，即光纤中的场分布可分离成随横截面二维分布的模式场和纵向波动项-zie，其数学表达式为(,)izeExyeHhtztzeeehhh对于光纤，（te、th）可选用两种坐标系，而不同的坐标系则相应于不同的方程，从而得到不同的模式序列。如选用圆柱坐标系，即1trtreeehhh这套坐标系下得到的模式，可与光纤边界形状（圆）一致，一般称为矢量模，如选用直角坐标系，既有2txytxyeeehhh这套坐标系下得到的模式，各分量具有固定的偏振（极化）方向，称为线偏振模（极化模），简称LP模。显然，由于光纤的空间对称性，无论是矢量模或是标量模均应取圆对称分布形式，即(,)()e(0,1,2,)imeerrmhh2.模式场满足其次波动方程均匀折射率光纤中的模式场满足以下波动方程：22220[()]0teknh上式可按纵横分量分解为：22220222202222022220[()]03[()]04[()]05[()]06tztzttttkneknhkneknh上式前两个为标量方程，后两个为矢量方程。由于这两个矢量方程无法分解成柱坐标系下单一分量（re，e，rh，h）的标量