传递函数到状态空间模型的转换

从传递函数到状态空间模型自动控制理论浙江大学控制科学与工程学系第四章第四章系统表示方法系统表示方法1从传递函数到状态空间模型2第四章要点第四章要点9引言9系统整体传递函数的确定9仿真图9信号流图9从传递函数到状态空间模型的转换控制科学与工程学系从传递函数到状态空间模型的转换‹从并联状态图到传递函数‹并联状态图‹A矩阵的对角化‹利用状态变换求解状态方程‹状态方程的标准形式‹可控标准型‹可观标准型‹从方块图到状态空间模型从传递函数到状态空间模型4™由下面微分方程描述的SISO系统可以由相应的传递函数表示并联状态图并联状态图ucDcDcDcyaDaDaD)()(01110111++++=++++−−−−nw≤nw≤0122110111)()()(asasasascscscscsGsUsYnnnnn==−−−−−−™进一步地，将传递函数的分母进行因式分解，并将G(s)表示为部分分式形式。当不存在多重极点且w=n时，)()()(;)()())(()(1210111iiiiiniinnnnnnsfsUsZfsGsGcssscscscscsGλλλλ−==+=−−−++++=∑=−−从传递函数到状态空间模型5)()()(;)()())(()(1210111iiiiiniinnnnnnsfsUsZfsGsGcssscscscscsGλλλλ−==+=−−−++++=∑=−−™我们采用符号zi及其拉普拉斯变换形式Zi(s)来表示状态变量，以突出对角阵形式中的状态变量。+++=+−+−+=)()()()()()()(22112211sZfsZfsUcssUfssUfsUcsYnnλλ∫izλiu1+izfiiy™所选择的状态变量Zi(s)满足如下方程：)((s)Z-(s)sZ;)()(sUssUsZiiiii=−=λλuzziii=−λiiizfy=并联状态图并联状态图(*)从传递函数到状态空间模型™系统的仿真图如下图所示，图中省略了状态变量的初始值zi(t0)。Z1(s)Z2(s)λ1λ2λn:fnf2f1U(s)Y(s)cn图5.31式(*)的并联解耦仿真图（w=n）Zn(s)前馈通道)()(1∑=+=niinsGcsG)()()(iiiiisfsUsZfsGλ−==并联状态图并联状态图6从传递函数到状态空间模型7™于是系统的状态空间模型为：[]uducfffynnnnnn+=+=+Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=zczubzuzz2121111000000λλλ™系统矩阵A是对角阵，此时系统动态方程称为正则标准型状态空间模型，系统矩阵可表示为Λ(orA*)，相应的状态变量称为规范变量（canonicalvariables）。所有元素均为1w=n,dn≠0,否则dn=0部分分式的系数™对于MIMO系统，有----b→B，c→C和d→D不同！并联状态图并联状态图从传递函数到状态空间模型8™对角矩阵A=Λ意味着各个状态方程之间相互解耦，即各个状态变量zi不依赖于其他状态变量，可被独立求解。™这个特点可以简化状态转移矩阵Φ(t)的计算程序。™对角型动态方程对系统研究非常有用，如可观性和可控性分析。™这里讲的系统特征根为各不相同的单根时的正则标准型状态空间描述。是一种最简单的情况。对于存在复根的情况(较少碰到)，A阵为约当阵。此略。有兴趣的同学可自学。并联状态图并联状态图从传递函数到状态空间模型9Z1(s)Z2(s)-1-2421Y(s)图5.32仿真图U(s)解：2313154)(22++++=sssssG【例1】对于给定的G(s)，，画出并联状态图，并确定状态方程。12214)(++++=sssG[]uzyuzz421;111002+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=w=n,dn≠0,否则dn=0并联状态图并联状态图2241513()32ssGsss++=++从传递函数到状态空间模型10【例2】设控制系统的传递函数为试求系统的正则标准型状态空间描述。)127(23)()(22++++=ssssssUsY解：将系统传递函数化为分母为因式相乘的形式，41233132161)()(+⋅++⋅−⋅=ssssUsY系统的特征根为0，－3，－4；相应的留数可求得为23,32,61−即：uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=111400030000x⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=233261y9因此可得系统的正则标准型状态空间描述：wn,dn=0并联状态图并联状态图从传递函数到状态空间模型11A矩阵的对角化½在前面的部分分式展开方法中，我们得到了所需的正则规范型状态空间模型，其中A矩阵是对角阵。½当系统为MIMO系统，或者已经给出状态空间描述的系统方程时，这样的部分分式展开方法并不方便。½一种更为一般的状态方程转换方法是利用线性相似变换。½当矩阵A具有不同的特征值时，有4种方法可以计算模态矩阵。从传递函数到状态空间模型12回顾：状态方程的解½将一般的系统矩阵A转换为对角阵Λ(orA*)，在求解状态方程时非常有用。½状态方程为：)()()(tttBuAxx+=¾对于非对角阵A，我们首先可以将其对角化，也就是计算相应的模态矩阵T，于是有],,,[21ndiagλλλ=Λ∵],,,[21neeediagetλλλΛ=1)exp()exp(−Λ=TTAtt其解为：ττττττdttdeettttt∫∫−+=+=−00)()()()0()()()0()(BuΦxΦBuxxAA1−Λ=TTA],,,[211ndiagλλλ==Λ−ATTTATATTΛ)exp()exp(11ttet−−==从传递函数到状态空间模型13™当状态空间模型中的系统矩阵和控制矩阵具有特定形式的情况下，反馈控制系统的综合及其响应特征分析通常会变得非常容易。™介绍从传递函数直接得到系统可控标准型和可观标准型的方法。状态方程的标准形式从传递函数到状态空间模型⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−1210100001000010nnCaaaaA⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000CBControllableStandardform(可控（相伴）标准型可控（相伴）标准型))ucDcDcDcyaDaDaD)()(01110111++++=++++−−−−nw≤nw≤0122110111)()()(asasasascscscscsGsUsYnnnnn==−−−−−−™由下面微分方程表示的SISO系统可以由相应的传递函数表示uxAxccB+=uxDcyc+=注意：下标cCompanionmatrix友矩阵，能控标准形(Ac,bc)(只与A、B有关)相变量回顾：相变量状态方程14从传递函数到状态空间模型nc0c1−nc2−nc1c2c0a−1a−2a−2−−na1−−na[]ux][)()()(111100nnnnnnccaccaccacy+−−−=−−0≠nc0=nc[]cxx==0010wcccy回顾：相变量状态方程ControllableStandardform(可控（相伴）标准型可控（相伴）标准型))15从传递函数到状态空间模型16例3请写出如图所示系统的传递函数与可控标准型。0122334012233)()()(asasasascscscscsGsUsY+++++++==因为该图以相变量为状态变量，可直接由图写出系统的传递函数与可控标准型。又因w=3n=4，故有x3x2x4x1Y(s)U(s)c1c2c3c0解：可控标准型从传递函数到状态空间模型17例3请写出如图所示系统的传递函数与可控标准型。uxDcyc+=uxAxccB+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000Cb式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=3210100001000010aaaaAC04=c[]3210cccccc=x3x2x4x1Y(s)U(s)c1c2c3c00122334012233)()()(asasasascscscscsGsUsY+++++++==可控标准型从传递函数到状态空间模型2011-04-1218可观标准型nw≤0122110111)()()(asasasascscscscsGsUsYnnnnn==−−−−−−™另一个重要的状态方程形式是可观标准型。nxy=ucyaxucyaxucyaxnnn11112001−−+−=+−=+−=uxAxooB+=uxDcyo+=ucacxaucyaxucacxaucyaxucacxaucyaxnnnnnnnnnnnn)()()(11111111112000001−−−−−−+−=+−=−+−=+−=−+−=+−=x1U(s)1xx2x3y2x3x4xc2c3c1c0c4x40,≠=ncnwucxynn+=18从传递函数到状态空间模型19nw≤0122110111)()()(asasasascscscscsGsUsYnnnnn==−−−−−−uxAxooB+=uxDcyo+=注意：式中的下标O其中，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−1210100010001000noaaaaA[]1000=oc可观标准形(Ao,Co)(只与A、C有关)ncD=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−nnnnnnocaccaccaccacB112211000,≠=ncnw0,=ncnw⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000woccB0=D可观标准型™另一个重要的状态方程形式是可观标准型。从传递函数到状态空间模型20例4请写出如图所示系统的状态空间表达式。⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=3210100010001000aaaaAo[]1000=oc⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3210ccccBo0=Dx1U(s)1xx2x3x4=y2x3x4xc2c3c1c00,4=cnwucxxax11412++−=ucxxax22423++−=ucxxax33434++−=ucxax0401+−=4xy=解：可观标准型从传递函数到状态空间模型21012211012211)(asasasascscscscscsGnnnnnnnnnnn++++++++++=−−−−−−−−已知传递函数为：uxAxooB+=uxDcyo+=仔细观察两种规范型中的系统矩阵A、控制矩阵B以及输出矩阵C，可以发现可控标准型与可观标准型之间存在关系：uxAxccB+=uxDcyc+=可控标准型可观标准型TcoAA)(=TcoCB)(=TcoBC)(=这是普遍规律?可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型Yes!从传递函数到状态空间模型22【例5】设控制系统的传递函数为试求系统的可控可观标准型状态空间描述。)127(23)()(22++++=ssssssUsY进而可得系统的可控标准型状态空间表达式为1122331230100001001271[231]xxxxuxxxyxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：将系统传递函数对照可控标准型公式，可得0a,12a,7a,1a2,1,0,3,20123123=========cccnw可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型从传递函数到状态空间模型231122331230100001001271[231]xxxxuxxxyxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦进而可得系统的可观标准型状态空间表达式为uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1327101201000[]x100=y可控标准型解：将系统传递函数对照可观标准型公式，因为0a,12a,7a,1a2,1,0,3,20123123=========cccnw可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型可控（相