矩阵特征值问题的数值解法

第七章特征值与特征向量的数值求法第7章矩阵特征值问题的数值解法教学目的1.掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2.掌握求矩阵特征值的QR方法。教学重点及难点重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。第七章特征值与特征向量的数值求法7.1特征值问题的性质与估计第七章特征值与特征向量的数值求法第7章矩阵特征值问题的数值解法使及非零向量特征值问题是求或对于矩阵,),(**xCCRAnnnnxAx方上述方程是一个非线性的特征向量为对应于的特征值为矩阵称.,xA0.....)det(111nnnncccAIx）（的充要条件是程组，它有非零解。个根，包括重根和复根有）（）为特征多项式。方程（称n0向量的计算。例如，中会遇到特征值和特征在很多科学与工程问题，满足（和非零函数题可描述为：求弹性薄膜的固有振动问),yxu。),(,0,),(,)(yxuyxuuuyyxx第七章特征值与特征向量的数值求法hyxyxyx的边界。若取为（为了简单，取,1,1:),题可得下列矩阵特征值问数，按自然次序离散化以二阶均差代替二阶导,25.0,12uBuh分数矩阵和求解向量章首先叙述的实例中的分别与第和向量其中矩阵5uB的）遇到类似的（或更复杂和结构振动等问题也会相同。在电磁学、机械重要的意义。，所以特征值的计算有固有值、临界值等问题的根，而且有的问题）（次运算准确求解方程因为一般不能通过有限0.,方法通常采用迭代法因此特征值问题的数值特征向量只需要求部分特征值和第七章特征值与特征向量的数值求法7.1特征值问题的性质与估计则有的特征值是设定理,),......,2,1(,)(1.7*AniRaAinnij)det()1(1Aini.),()2(11的迹称之为AAtraiiniiniACaAGershgorinnnij则设矩阵圆盘定理定理,)()(2.7*的每一个特征值,1iniDu:个圆盘为第其中iDi。niaazzDijnijjiii,.....,2,1,:,1第七章特征值与特征向量的数值求法即为对应的特征向量的任意一个特征值为设证,0,:xA。0)(xAI,0,max,),.....,,(21ikiTnxxxxxxx则记。jijnijjiiixaxa,1)(有由于),(1/ijxxij./ijijijijijiiaxxaa..定理得证属于说明iD从定理的证明可见,如果一个特征向量的第i个分量按模最大,则对应的特征值一定属于第i个圆盘中.利用定理7.2,我们可以由A的元素估计特征值的范围.A的n个特征值均落在n个圆盘上,但不一定每个圆盘都有一个特征值.第七章特征值与特征向量的数值求法称对于任一非零向量阶实对称矩阵为设定义,,:1.7xnA),(),()(xxxAxxR为对应于向量x的Rayleigh商.。。。有对任何非零向量)()(min)3()()(max)2()(,)1(01011nRxnRxnnxRxRxRxRxRRxnn定理7.3设A为n阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为,......21n则有组成正交向量组对应的特征向量,,......,21nxxx第七章特征值与特征向量的数值求法，则有表达式证：设0x,1iinixx,0),(21inixx。2112121),(iniiiniininxAx由此可见,(1)成立,(2)和(3)是显然的.定理得证..,,,*组征向量也构成正交向量其特征值都是实数，特阵”，即为应改为为对称阵但应注意亦有类似性质对于复矩阵AAHermiteAACAHnn