倍长中线与截长补短法证三角形全等

1巧添辅助线——倍长中线【夯实基础】例：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD【经典例题】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CECDABDABCEDABCFEDCBANDCBAMFECABD2例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE中线倍长法的应用练习：1、已知：△ABC中，AB=4cm，BC=6cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围。2、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是()A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、9AB193、已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，如图求证：AE=21ACFEDABC第1题图ABFDECEDABCBCDAEABCDE34、已知：如图CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线。求证：∠C=∠BAE5、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF6、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，求证：AB=2BC.7、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AMABCDEFABCDEDBCAMBACED4全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?【例3】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【例4】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.DOECBANEBMADFEDCBA5【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBAABDEFC【例6】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBA