中考总复习：几何初步

中考总复习三：几何初步初三数学（一）直线的定义代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，.如下图（二）直线的两种表示方法（1）用表示直线上的任意两点的大写字母来表示AB（2）用一个小写字母表示a（三）直线的性质过两点一条直线，即两点一条直线直线有且只有确定向两方无限延伸直线可以（四）直线和点的两种位置关系（1）点在直线上A（2）点在直线外B（五）同一平面内两条直线的位置关系（1）相交，即两条直线只有一个公共点（2）平行，即两条直线没有公共点射线、线段（一）射线的定义：直线上叫做射线.射线只向无限延伸.（二）射线的表示方法：（1）用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；OA（2）用一个小写字母表示射线，如射线a.a一点和它一旁的部分一方（三）线段的定义：直线上叫做线段，两个点叫做线段的.（四）线段的表示方法：（1）用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母（2）用一个小写字母表示，如线段a.ABa两点和它们之间的部分端点（五）线段的性质：所有连接两点的线中，线段(即两点之间，线段).（六）线段的中点:线段上一点把线段分成的两条线段，这个点叫做线段的中点.（七）两点的距离：连接两点间的，叫做两点的距离.最短最短相等线段的长度角（一）角的概念：（1）定义一：有公共端点的两条组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的，两条射线分别叫做角的.O（2）定义二：一条射线绕着从一个位置到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.AB射线顶点边端点旋转（二）角的表示方法：（1）用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；AOB（2）用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠AA.（3）用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠1（1）按大小分类：角：小于直角的角(0°＜＜90°)角：平角的一半或90°的角(=90°)角：大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)（三）角的分类：（2）平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成时，所成的角叫做平角，平角等于°.（3）周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于°.锐直钝一条直线180360（4）互为余角：如果两个角的和是一个，那么这两个角叫做互为余角.（5）互为补角：如果两个角的和是一个，那么这两个角叫做互为补角.1212直角平角（四）角的度量：（1）度量单位：度、分、秒；（2）角度单位间的换算：1°=′，1′=″；（3）1平角=°，1周角=°，1直角=°.（五）角的性质：同角或等角的余角，同角或等角的补角.（六）角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.606018036090相等相等相等相交线（一）对顶角（1）定义：如果两个角有一个，而且一个角的两边分别是另一角两边的，那么这两个角叫对顶角.12（2）性质：对顶角.（二）邻补角（1）定义：有一条，而且另一边的两个角叫做邻补角.（2）性质：邻补角.公共顶点反向延长线相等公共边互为反向延长线互补（三）垂线（1）两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做.垂直用符号“⊥”来表示（2）垂线的定义:互相的两条直线中，其中的一条叫做另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足为O，则记为a⊥b，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.（3）垂线的性质：①过一点一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.简单说成：最短.（4）点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.直角垂足垂直有且只有垂线段垂线段垂线段的长度（四）同位角、内错角、同旁内角（1）基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如右图所示：∠1和、∠2和、∠3和、∠4和是同位角；∠1和、∠2和是内错角；∠1和、∠2和是同旁内角.（2）特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.∠8∠7∠6∠5∠6∠5∠5∠6平行线（一）平行线定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.（二）平行公理及推论：（1）经过直线外一点，一条直线与这条直线平行.（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线，那么这两条直线也互相.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.永不相交有且只有平行（三）性质：（1）平行线永远不相交；（2）两直线平行，同位角；（3）两直线平行，内错角；（4）两直线平行，同旁内角；（5）如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.acb相等相等互补（四）判定方法：（1）定义（2）平行公理的的推论（3）同位角，两直线平行；（4）内错角，两直线平行；（5）同旁内角，两直线平行；（6）于同一条直线的两条直线平行.相等相等互补平行命题、定理、证明（一）命题：（1）定义：判断一件事情的语句叫命题.（2）命题的结构：题设+结论=命题（3）命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；（4）命题的分类：真命题和假命题（5）逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.（二）公理、定理：（1）公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.（2）定理：经过推理证实的真命题叫做定理.（三）证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.1．（1）（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有__________个点.（2）下列语句正确的是()A.延长直线ABB.延长射线OAC.延长线段AB到C，使AC=BCD.延长线段AB到C，使AC=3AB举一反三【变式1】下列语句正确的是()A．如果PA=PB，那么P是线段AB的中点B．线段有一个端点C．直线AB大于射线ABD．反向延长射线OP(O为端点)答案：16073考点：直线、射线、线段的性质.解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D.解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D.2．(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是()A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│(2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为()A.3：4B.2：3C.3：5D.1：2举一反三【变式1】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.考点：数轴上两点间的距离和线段的加减.思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4.答案：(1)C；(2)A总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.答案：3【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=______.解：线段有10条；车票需要2×10=20种.总结升华：在直线上确定线段的条数公式为:(其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念.解：如图，∵AB=8cmAC=2AB∴AC=2×8=16cm∵D是AB中点∴AD=8×=4cm∴CD=AC-AD=16-4=12cm3．下列说法正确的是()A．角的两边可以度量.B．角是由有公共端点的两条射线构成的图形.C．平角的两边可以看成直线.D．一条直线可以看成是一个平角.4．已知OC平分∠AOB，则下列各式:(1)∠AOC=∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正确的是()A.只有(1)B.只有(1)(2)C.只有(2)(3)D.(1)(2)(3)考点：角的定义解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B.思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.答案：D5．（1）（2010山东德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）（A）30°（B）40°（C）60°（D）70°（2）已知∠与∠互余，且∠=40°，则∠的补角为_______度.考点：平行线的性质、三角形外角定理.答案：A考点：角互余和互补定义.思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.解：∵∠与∠互余，∴∠+∠=90°；∵∠=40°，∴∠=90°-∠=90°-40°=50°.∴∠的补角=180°-50°=130°.举一反三【变式1】如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有_______对，互补的角有_______对.考点：互为余角和互为补角的定义.思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.【变式2】已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.求证：∠ACD=∠B.证明：∵AC⊥BC(已知)∴∠ACB=90°()∴∠BCD是∠DCA的余角()∵∠BCD是∠B的余角(已知)∴∠ACD=∠B()思路点拨：会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等.6．(1)已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_______，补角是________；(2)18.32°=18°()′()″，216°42′=_______°.考点：掌握角的单位之间的换算关系.1°=60′，1′=60″.举一反三【变式1】计算.①②③④考点：掌握角的单位之间的换算关系.1°=60′，1′=60″.解：(1)∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；∠1的补角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；(2)0.32°=0.32×60′=19.2′0.2′=0.2×60″=12″所以18.32°=18°19′12″；42′=0.7°所以216°42′=216.7°.考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制的，相同单位互相加减.解：①=68°