二项式定理讲义

第1页共3页二项式定理一、二项式定理（1）二项式定理公式：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba............222110所表示的定理叫做二项式定理；（2）相关概念及公式①公式右边的多项式叫做nba的展开式；②各项的系数nrCrn,......,2,1,0叫做二项式系数；③展开式中的rrnrnbaC叫做二项式展开式的通项，记作rrnrnrbaCT1，它表示展开式的第1r项；④在二项式定理中，如果设xba,1，则得到公式：nnnrrnnnnxCxCxCxCx............11221；nnnrrnnnnxCxCxCxCx............11221；二、二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；（2）增减性与最大值：当21nr时，二项式系数rnC是递增的；当21nr时，二项式系数rnC是递减的；当n时偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n时偶数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值；（3）各二项式系数的和：nba的展开式的各个二项式系数的和等于n2，即nnnnnnCCCC2......210；二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即............531420nnnnnnCCCCCC；注意二项式系数与系数的区别；例题：1.在6212xx的二项展开式中，常数项是________________;2.若Rxxaxaxaax2009200922102009......21，则200920092212......22aaa的值为（）A.2B.0C.1D.23.若nxx21的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为___________；第2页共3页4.已知4433221043xaxaxaxaax，则43210aaaaa______________;5.已知554433221051xaxaxaxaxaax，则531420aaaaaa的值等于________；6.6xyyx的展开式中，3x的系数等于_________________；7.若9xax的展开式中，3x的系数是84，则a___________；8.Rxxx624展开式中的常数项是（）A.20B.15C.15D.209.在622xx的二项展开式中，2x的系数为（）A.415B.415C.83D.8310.nbyax1的展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则nba,,的值可能为（）A.5,1,2nbaB.6,1,2nbaC.6,2,1nbaD.5,2,1nba11.设2121221021......1xaxaxaax，则1110aa________________；12.若nnnnnxCxCxC......221能被7整除，则nx,的值可能为（）A.3,4nxB.4,4nxC.4,5nxD.5,6nx13.当Nn时，求证：3112nn，Nn.14.533121xx的展开式中x的系数是（）A.4B.2C.2D.415.6211xxxx的展开式中的常数项是_______________;16.在5212xx的二项展开式中，x的系数是（）A.10B.10C.40D.40第3页共3页16.522112xx的展开式中的常数项是_______________;17.设Za，且130a，若a201251能被13整除，则a（）A.0B.1C.11D.1218.71x的展开式中2x的系数是____________________；19.821xx的展开式中常数项是___________________；20.若nxx1的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为___________；21.若将函数5xxf表示为5522101......11xaxaxaaxf，其中5210,...,,,aaaa为实数，则3a_______________；22.4xa的展开式中3x的系数等于8，则实数a________________；23.6622106......21xaxaxaax，则6210......aaaa的值为（）A.1B.64C.243D.72924.二项展开式1012x中x的奇次幂项的系数之和为_________________；25.已知1011232110......1xaxaxaax，若数列Zkkaaak,111,......,,21是一个单调递增数列，则k的最大值是______________________.26.若2215ba（ba,为有理数），则ba（）A.45B.55C.70D.8027.设Za，且130a，若a201251能被13整除，则a____________.28.6622106...51xaxaxaax，则610...aaa________________.29.若NnCCnn6271327，则nxx32的展开式中的常数项是____________.30.二项式nxsin1的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x在2,0内的值为____________________.