2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page1of9第1页共9页一．（本题满分8分）某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为4.0、35.0和25.0，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为5.0、65.0和45.0．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率．解：设B“钥匙被找到”．1A“钥匙掉在宿舍里”，2A“钥匙掉在教室里”，3A“钥匙掉在路上”．由Bayes公式，得31333iiiABPAPABPAPBAP2083.045.025.065.035.05.04.045.025.0．二．（本题满分8分）抛掷3枚均匀的硬币，设事件至多出现一次正面A，正面与反面都出现B判断随机事件A与B是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A与B是否相互独立（4分）？解：⑴如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为823．2184AP，4386BP，83ABP，所以有BPAPABP432183，因此此时随机事件A与B是相互独立的．⑵如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为1624．165AP，871614BP，41164ABP，所以有BPAPABP8716541，因此此时随机事件A与B不是相互独立的．三．（本题满分8分）设随机变量X的密度函数为其它010143xxxf．求：⑴XE（4分）；⑵XEXP（4分）．解：2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page2of9第2页共9页⑴10314dxxxdxxxfXE2.0515143121433410432dxxxxx．⑵12.03142.0dxxXPXEXP4096.062525641234331412.043212.032xxxxdxxxx．四．（本题满分8分）某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X（单位：千升）是一随机变量，其密度函数为其它0100010012014xxxf试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在%2以下？解：设该加油站每次的储油量为a．则由题意，a应满足1000a，而且02.0aXP．而5100410010010011001201adxxdxxfdxxfdxxfaXPaaa．所以，应当有，02.010015a．所以，得502.01001a，即10002.015a，因此有26949481.5402.011005a．因此可取55a（千升），即可使一周内断油的概率控制在%5以下．五．（本题满分8分）设平面区域D是由双曲线xy1，0x以及直线xy，2x所围，二维随机变量YX,服从区域D上的均匀分布．求：⑴二维随机变量YX,的联合密度函数yxf,（4分）；⑵随机变量Y的边缘密度函数yfY（4分）．2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page3of9第3页共9页解：⑴区域D的面积为2ln23ln21121221xxdxxxA，所以，二维随机变量YX,的联合密度函数为DyxDyxyxf,0,2ln231,．⑵当121y时，ydxdxyxfyfyY122ln2312ln231,21；当21y时，ydxdxyxfyfyY22ln2312ln231,2．所以，随机变量Y的边际密度函数为其它02122ln231121122ln231yyyyyfY．六．（本题满分8分）设随机变量X与Y满足：2varX，4varY，1,covYX，再设随机变量YXU32，YXV23，求二维随机变量VU,的相关系数VU,．解：32124924,cov12var9var432varvarYXYXYXU，2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page4of9第4页共9页22124429,cov12var4var923varvarYXYXYXV，YXYXVU23,32cov,cov231134626,cov9,cov4var6var6YXYXXX．所以，二维随机变量VU,的相关系数为8668451157.011823223223varvar,cov,VUVUVU．七．（本题满分8分）设21,XX是取自正态总体2,0N中的一个样本．试求随机变量22121XXXXY的分布．（不必求出Y的密度函数，只需指出Y是哪一种分布，以及分布中的参数即可．）解：由于21,0~NX，22,0~NX，而且1X与2X相互独立，所以2212,0~NXX，2212,0~NXX．由于0varvar,cov212121XXXXXX，而且2121,XXXX服从二元正态分布，所以21XX与21XX相互独立．所以，1~22221XX，1~22221XX；而且2212XX与2212XX相互独立．所以，1,1~2222122122121FXXXXXXXXY．八．（本题满分8分）某射手射击，他打中10环的概率为5.0，打中9环的概率为3.0，打中8环的概率为1.0，打中7环的概率为05.0，打中6环的概率为05.0．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．（附表：标准正态分布分布函数x的部分数值表：2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page5of9第5页共9页x25.130.135.140.1x8944.090230.091149.091924.0解：设kX表示该射手射击的第k发时所得的环数100,,2,1k，则kX的分布律为kX109876P5.03.01.005.005.0所以，15.905.0605.071.083.095.010kXE，95.8405.0605.071.083.095.010222222kXE，所以，2275.115.995.84222kkkXEXEXD．因此，10021,,,XXX是独立同分布的随机变量，故10011001100110011001100110011001930900930900kkkkkkkkkkkkkkkkXDXEXDXEXXDXEPXP2275.110015.91009302275.110015.91002275.110015.91009001001kkXP35388.12275.110015.910035388.11001kkXP82289.0191149.02135.1235.135.1．九．（本题满分9分）设随机变量X与Y相互独立而且同分布，其中随机变量X的分布列为010,01pXPpXP，再设随机变量2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page6of9第6页共9页为奇数为偶数YXYXZ01．⑴写出随机变量ZX,的联合分布律以及X与Z各自的边缘分布律；⑵问p取什么值时，随机变量X与Z相互独立？解：⑴X与Z的联合分布列以及X与Z各自的边际分布列为ZX01ip0pp121pp11pp12ppjppp1222121ppp其中ppYPXPYXPZXP1101,00,0；21000,01,0pYPXPYXPZXP；ppYPXPYXPZXP1010,10,1；2111,11,1pYPXPYXPZXP；⑵如果X与Z相互独立，则有pppZPXPppZXP120110,1，解方程ppppp121，得21p．并且当21p时，有ZX01ip04141211414121jp2121可以验证，此时X与Z是相互独立的．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假设X与Y相互独立，都服从参数为5的指数分布．X的密度函数为2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page7of9第7页共9页00055xxexfx．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密度函数．解：X的密度函数为00055xxexfxX，Y的密度函数为00055yyeyfyY由题意，知YXT，设T的密度函数为tfT，则055dxxtfedxxtfxftfYxYXT作变换xtu，则dxdu，当0x时，tu；当x时，u．代入上式，得tYuttYutTduufeeduufetf55555当0t时，由0yfY，知0tfT；当0t时，ttuutTtedueeetf55552555综上所述，可知随机变量T的密度函数为000255tttetftT．十一．（本题满分9分）设总体X的密度函数为xexf21;，x，其中0是未知参数．nXX,,1是从中抽取的一个样本．求的最大似然估计量．解：的似然函数为2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of9第8页共9页niinniixxfL111exp21;，则有niixnL112lnln，对求导，得niixnLdd121ln，令0lnLdd，即有0112niixn，解似然方程，得niixn11．所以，的最大似然估计量为niiXn11ˆ．十二．（本题满分9分）设总体X的密度函数为其它0063xxxxf，其中0是未知参数，nXX，，1是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数的矩估计量ˆ（5分）；⑵.求方差ˆvar（4分）．解：⑴.26032