苏荔数字图像处理

习题1：坐标的线性变换 1.一幅二维连续图像),(yxf,其座标为),(yx,傅里叶变换为),(vuF。现在将座标变换为)','(yx： TTyxAyx，dcbaA 这时图像变为)','(1yxf，它的傅里叶变换是什么？与),(vuF是什么关系？ 提示： 参考旋转性质的证明过程 )cossin,sincos()cossin,sincos(vuvuFyxyxf 座标轴旋转 cossin'sincos'yxyyxx   ''cossinsincosyxyx   解：由题意， dcbaA，),(),(1yxfyxf ),(),(vuFyxf ⑵⑴),(),(),(),(2112ydxdeyxfvuFdxdyeyxfvuFyvxujvyuxj 1TTTTAyxyxAyxyxyxAyx (3)1vuAyxvuyxyvxuT (4))det(),(),(1dxdyAdxdyyyxyyxxxdxdyyxyxydxd 将)4()3(、代入)2(式： dxdyAeyxfvuFvuAyxjT)det(),(),(1211 dxdyAeyxfAvuAAadjyxjT)det(),()det(11)det()(2 dxdyeyxfAvuabcdAyxj)det(2),()det(1 dxdyeyxfAyvaubxvcudAj)det(2),()det(1 故而)','(1yxf的傅里叶变换是： AvaubAvcudFAvuF,1),(1  结论：坐标旋转多少度，则变换也旋转多少度： vuTFTvuGyxTTTTyxT),(''4321（已经证实）   习题2 2.已知图像函数满足： 其它在图像内部01),(yxf，请计算下面几个图像的傅立叶变换： （1）正方形（2）矩形（3）菱形（4）正六边形  解：（1） xxxsavsausaevvuuvjujeuveeeeeeuveeuvujuxjdevjvyjdedxedyedxdyeyxfvuFvuvujvujvjvjvjujujujvjujuxjvyjuxjvyjvyuxjsin)()()(1)sin()sin()sin(2)sin(2414111412222),(),(2222210210210102221其中 （2）设（1）中图像为yxD,1，则（2）图像可记为yxD,1其中 yxBAyx00'' 由结论：(已经证实) vuTFTvuGyxTTTTyxT),(''4321 得到 )()(1,),(12BvsaAuABsaBvAuABFvuFBvAu  （3）中图像可记为yxD,3其由1D顺时针旋转4，再进行坐标轴伸缩得来。 ''331331232321214cos4sin4sin4cos230021yxyxyxyxyx 由结论： ),(),(vuGyxg 若TTTyxdcbayxCyx CvaubCvcudFCvug,1),( 得到 vuvuvusavusavuvuFvuvuFvuFuu3coscos)3(31232123211232321,2321233323,332323),(2221113  （4）记（4）中图像为yxD,4，则它可看作由3D逆时针旋转34,32,0所得图像叠加而来： ),(34cos34sin34sin34cos),(32cos32sin32sin32cos),(1001),(3334yxDyxDyxDyxD 2123232134cos34sin34sin34cos2123232132cos32sin32sin32cos,100113121CCC 由结论： ),(),(vuGyxg 若TTTyxdcbayxCyx CvaubCvcudFCvug,1),( 得到)1(321CCC这里 vuvuvuFvuvuFvuvuFvuFvuFu3coscos)3(31,)2123,2321()2123,2321(),(),(222133334）（其中   习题3： 从定义式证明Laplace 公式： ),()(4),(222222222vuFvuyxfyx 证明： 根据微分性质 ),(22),(),(22),(),(2),(),(2),(2vuFvjujyxfyxvuFvjujyxfyxvuvFjyxfyvuuFjyxfxnmnm ),()(4),(2),(2),(),(),(2222222222vuFvuvuFvjvuFujyxfyyxfxyxf   习题4： )(xf为一维离散序列，16N，且1)7()1()0(fff，其余为0，试求： （1）)(xf的傅里叶变换的谱)(uF，画出谱线； （2）xxf)1)((的傅立叶变换的谱)2(NuF，画出谱线。（计算保留小数点后2位） 解： （1） 亦满足此式。易于验证时有：设，015,,2,1,02)4cos()8cos()16cos()16sin()2sin(16116111161)(111161)(0161161)(1)(1)(16162216288808708708150162102uuuuuuueeeeeeeeuFee 15,,3,2,116sin11321161111161)(:0;210:1616168uueeeeeuFuuuuujujujuujuj时候时候，或者  谱线如下：（注意谱线是周期的）  （2） 作图如下：根据uFuuuuuFeeexfNexfNuFxxujxuxjxjNxNuxjx15,,2,1,02)4cos()8cos()16sin()8(161)(1)1)((1)(7082161501621022 谱线如下：（注意谱线是周期的）    习题6： 设有一组随机变量，],,,[4321xxxxX，其中T]0,0,0[1x，T]0,0,1[2x，T]0,1,1[3x，T]1,0,1[4x，请分别给出其协方差矩阵XC，以及经过霍特林变换后的向量Y的协方差矩阵YC。 解：X的均值可统计所有样本向量估计，414143101011001000411)(1NiiNXEx其协方差矩阵定义为：NiTiiTXNXXC11xx1631611611611631611611611631691631631631611611631611611611631611631691631611631611611611611611611611611611611611611631611611631631631694143414143414141434141434141414141414141414341414341XTTTTC求XC的特征值：161,410161410)det(3212XCI故而1614141321YC。  习题7： 已知图像 1010042103300101),(yxf 求二维离散沃尔什变换TWTWTWWPH和,。 解：1111]2[][][][][]2[HnHnHnHnHnH其中，哈达玛矩阵递推公式 ]1[]1[][HmHmH其中为矩阵直积符号。二维哈达玛变换式： )(),()(1),(2nHyxfnHNvuWH  三种定义的沃尔什函数序号间的关系 111111111111111110100421033001011111111111111111161)4(),()4(161),(TWHyxfHvuWHH  =11111111111111111640100012221862161 1113911111171111317161 31203210PHWW二进制倒序 即交换HW第二三两行，再交换二三两列得到： 113191711111111311716110000010010000011000001001000001HPWW 213031203210WHWW倒序码读二进制写，倒序，格雷 即将HW第二行插入行尾，再第二列插入列尾，得到： 