立体几何中的外接内切球

ABCD立体几何中的外接内切球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象能力及归纳能力。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识。并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业。本专题主要讨论补形法和轴截面法。补形法：情况一：若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222Rabc.情况二：若出现对边相等，一般也是构造长方体，再利用2222Rabc。此类题重点要找出cba,,三边。例1：已知点A、B、C、D在同一个球面上，,8,132,6,,ADACABDCBCBCDAB若平面则外接球的体积是______。解析：如图，易得22(213)64BC，228627BD，12CD∴，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为222264(12)8R，即4R.例2.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于___________。解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。例3.在正三棱锥ABCS中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱32SA，则正三棱锥ABCS外接球的表面积是（）A．12B．32C．36D．48解析：正三棱锥对棱互相垂直，即SBAC，又SB∥MN，且AMMN，∴AMSB，从而SACSB面.∴90BSA，以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径SAR32，即3R，∴3642RS。例4.在四面体ABCD中,6,4,5ABCDACBDADBC,则四面体ABCD的外接球的表面积为________________.【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长方体的三条边分别为,,xyz,则222772xyz,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以2774.2SR练习题：1.一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、6、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A、16πB、32πC、36πD、64π答案：A2.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为262322、、，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（）3.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9π，那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值为（）A.49B.29C.9D.18轴截面法：我们选择最佳角度找出含有找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面面圆，于是该圆的半径就是所求的半径，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究。这种等价转化的思想是我们应该研究的重点。例1.已知四面体正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_．[审题导引]如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA＝OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．[规范解答]如图所示，在Rt△SEA中，SA＝2，AE＝1，故SE＝1.设球的半径为r，则OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即点O即为球心，故这个球的体积是4π3.例2.已知四面体ABCD在同一球面上，且2BCAB,2AC,当四面体ABCD的体积最大时且为32，求球的表面积（）解析：∵2,2ABBCAC,∴ABC是直角三角形,∴ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1,如图所示,若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大,又1OO平面ABC,所以点D是直线1OO与球的交点，设球的半径为R,则由体积公式有:12OD，在1RtAOO中,221(2)RR,解得:54R254OS球的表面积,故选C1.已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于___________2.已知四棱锥V-ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=3，ＡＤ＝３，ＶＧ＝3，则该球的体积为（）36.A9.B312.C34.D内切圆：等体积法例1．设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：ABMAABADAB,,平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而ADME.ME平面AC，EFME设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2，得截面图MEF及内切圆O不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则MFEMEFSrMEF2，设aEFAD,1AMDS.222,2aaMFaEM,12222222222aaaar当且仅当aa2，即2a时，等号成立.∴当2MEAD时，满足条件的球最大半径为12.练习：1.一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。（答案为：2）2.在底面半径为3，高为4+23的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A、4B、5C、6D、7作业：1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．3172B．210C．132D．3102．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．4．球的表面积与它的内接正方体的全面积之比为（）A．B．C．D．15．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）图2A．2πB．4πC．8πD．16π6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．7．已知三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱锥外接球的表面积为S＝9π，则实数a的值为()A．1B．2C.2D.128．半径为52的球面上有三个点A，B，C，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，经过这3个点作截面，那么球心到截面的距离为()A．4B．42C．5D．99．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()A．16πB．8πC．4πD．2π10．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22二、填空题：1．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．2．已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝3，球心O到截面ABC的距离为2，则该球的表面积为________．3．过正四面体外接球球心的平面截正四面体所得截面如图所示，图中三角形面积为22，则正四面体棱长为____________．4．给出下列命题：①一个球与棱长为2的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为4π3；②若(1＋a＋…＋an－11－a)＝2，则实数a＝1＋22；③已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，则方程f(x)＝0在(1，2)内必有实根；④圆(x－2)2＋y2＝2外的点M对该圆的视角为90°时，则点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.其中正确的命题序号是______．5．过半径为2的球O表面上一点A，作球O的截面，若OA与该截面所成的角为30°，则该截面的面积为________．6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长AB＝6，侧棱长AA1＝27，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，有以下判断：(1)PE长的最大值是9；(2)三棱锥P－EBC体积的最大值是323；(3)存在过点E的平面，截球O的截面面积是8π；(4)三棱锥P－AEC1体积的最大值是20.正确的是________．7．已知球面上有S，A，B，C四点，且SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SC＝2.则该球的表面积为________．8．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________．