2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用

2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用1/162019北京市各区一模数学文科试题分类汇编12导数及其应用1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数()e4xfxax，aR.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当1a时，求证：曲线()yfx在抛物线21yx的上方.2、（大兴区2019届高三一模）已知函数()exfxa图象在0x处的切线与函数()lngxx图象在1x处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设直线(0)xtt分别与曲线()yfx和()ygx交于P，Q两点，求证：||2PQ．3、（东城区2019届高三一模）已知函数2()(2)lnfxaxaxx.（Ⅰ）若函数()fx在1x时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当01a时，求()fx零点的个数.4、（房山区2019届高三一模）已知函数32(2)2fxxxmx，223()xmgxxm,mR（Ⅰ）当2m时，求曲线yfx在1x处的切线方程；（Ⅱ）求gx的单调区间；（Ⅲ）设0m，若对于任意001，x，总存在101x，，使得10()fxgx成立，求m的取值范围.5、（丰台区2019届高三一模）已知函数e()lnxafxaxxx．（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx在1x处取得极大值，求实数a的取值范围．6、（海淀区2019届高三一模）已知函数3215()132fxxxax．2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用2/16(I)当6a时，求函数()fx在(0+)，上的单调区间；(Ⅱ)求证：当0a时，函数()fx既有极大值又有极小值．7、（怀柔区2019届高三一模）已知函数32()231()fxxaxaR.（Ⅰ）当0a时，求()fx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求()fx的单调区间；（Ⅲ）求()fx在区间[0,2]上的最小值．8、（门头沟区2019届高三一模）已知()xfxaxe在点(0,0)处的切线与直线2yx平行。(Ⅰ)求实数a的值；（Ⅱ）设2()()()()2xgxfxbxbR.（i）若函数()0gx在[0,)上恒成立,求b的最大值；（ii）当0b时，判断函数()gx有几个零点，并给出证明.9、（石景山区2019届高三一模）设函数()e2xafxax，0a．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）当1x时，函数()fx的图象恒在x轴上方，求a的最大值．10、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数ln,fxaxxaR.（I）若点1,1在曲线yfx上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若2fx恒成立，求a的取值范围.11、（通州区2019届高三一模）设2lnRafxxax．（Ⅰ）当0a时，直线yexm是曲线yfx的切线，求m的值；（Ⅱ）求fx的单调区间；（Ⅲ）若xxf1)(恒成立，求a的取值范围．2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用3/1612、（西城区2019届高三一模）设函数2()e3xfxmx，其中mR．（Ⅰ）当()fx为偶函数时，求函数()()hxxfx的极值；（Ⅱ）若函数()fx在区间[2,4]上有两个零点，求m的取值范围．13、（延庆区2019届高三一模）已知函数ln()1xafxx．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）当1a时，求函数()fx在上区间0,e零点的个数.参考答案1、解：（Ⅰ）求导得()e4xfxa.定义域xR.当0a时，()0fx,函数()fx在R上为减函数.当0a时，令()0fx得4lnxa,()fx为增函数；令()0fx得4lnxa,()fx为减函数.所以0a时，函数()fx减区间是(,).当0a时，函数()fx增区间是4(ln,)a；减区间是4(,ln)a.………5分（Ⅱ）依题意，只需证2e410xxx.设2()e41xFxxx.则()e42xFxx，设()()GxFx.因为()e20xGx，所以()Gx在(,)上单调递增.又因为(0)30,(1)e20GG，所以()0Gx在(0,1)内有唯一解，记为0x即00e42xx.当0xx时，()0Fx，()Fx单调递减；当0xx时，()0Fx，()Fx单调递增；所以022min000000()()e4165,(0,1)xFxFxxxxxx.设22()65(3)4gxxxx，(0,1)x.则()(1)0gxg.所以0()0Fx.2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用4/16所以()0Fx，即曲线()yfx在抛物线21yx上方.………13分2、解（Ⅰ）由()exfxa，得()exfxa，所以(0)fa……1分由()lngxx，得1()gxx，所以(1)1g……2分由已知(0)(1)fg，得1a，……3分经检验，1a符合题意．……4分（Ⅱ）由题意|||eln|,0tPQtt设()elnxhxx，0x，……1分则1()exhxx，……2分设1()exxx，则21()e0xxx，所以()x在区间(0,)单调递增，……3分又(1)e10，1()e202，……4分所以()x在区间(0,)存在唯一零点，设零点为0x，则01(,1)2x，且001exx．……5分当0(0,)xx时，()0hx；当0(,)xx，()0hx．所以，函数()hx在0(0,)x递减，在0(,)x递增，……6分000001()()elnln≥xhxhxxxx，由001exx，得00lnxx所以0001()2≥hxxx，由于01(,1)2x，0()2hx．……8分从而()2hx，即eln2xx，也就是eln2tt，|eln|2tt，即||2PQ，命题得证．……9分3、解：（I）()fx定义域为(0,).212(2)1(21)(1)'()2(2)axaxxaxfxaxaxxx.2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用5/16由已知，得'(1)0f，解得1a=.当1a=时，(21)(1)'()xxfxx.所以'()001,'()01fxxfxx.所以()fx减区间为(0,1)，增区间为(1,)+?.所以函数()fx在1x时取得极小值，其极小值为(1)0f=，符合题意所以1a.……………………………………………………………………5分（II）令(21)(1)'()0xaxfxx，由01a，得11xa=.所以11'()00,'()0fxxfxxaa.所以()fx减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a+?.所以函数()fx在1xa时取得极小值，其极小值为11()ln1faaa=+-.因为01a，所以1ln0,1aa.所以110a.所以11()ln10faaa=+-.因为21(2)(2)(2)()11aaaaefeeeee---+=+++=，又因为01a，所以20ae-+.所以1()0fe.根据零点存在定理，函数()fx在1(0,)a上有且仅有一个零点.因为lnxx，22()(2)ln(2)(3)fxaxaxxaxaxxxaxa.令30axa，得3axa-.又因为01a，所以31aaa-.所以当3axa-时，()0fx.根据零点存在定理，函数()fx在1(,)a+?上有且仅有一个零点.所以，当01a时，()fx有两个零点.………………………………14分4、（Ⅰ）当2m时，322fxxx，所以'232fxxx所以12f，11f，所以切线方程为1yx……………3分2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用6/16（Ⅱ）223()xmgxxm，的定义域是xxm'23()1xmxmgxx，令'()0gx，得12,3xmxm……………4分①当0m时，(),0gxxx所以函数()gx的单调增区间是(,0)(0,)，……………5分②当0m时，x，'()gx，()gx变化如下：x(,3)m3m(3,)mm(,)mmm(,)m'()gx00()gx所以函数()gx的单调增区间是,3,,mm，单调减区间是3,,,,mmmm③当0m时，x，'()gx，()gx变化如下：x(,)mm(,)mm(,3)mm3m(3,)m'()gx00()gx所以函数()gx的单调增区间是,,3,mm，单调减区间是,,,3,mmmm…………………………8分（Ⅲ）因为32(2)2fxxxmx，所以'232(2)fxxxm当0m时，412212200mm，所以'0fx在0,1上恒成立，所以fx在0,1上单调递增，所以fx在0,1上的最小值是02f，最大值是14fm，即当01x，时，fx的取值范围为[2,4]m……………10分由（Ⅱ）知当10m时，01mgx在0,m上单调递减，在,1m上单调递增，2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用7/16因为22gmm，所以不合题意当1m时，1m，gx在0,1上单调递减，所以gx在0,1上的最大值为03gm，最小值为21311mgm所以当01x，时，gx的取值范围为213,31mmm……………12分“对于任意001，x，总存在101x，，使得10()fxgx成立”等价于“213,3[2,4]1mmmm”解2132134mmmm得1132mmm或所以m的取值范围为2,1……………13分5、解：（Ⅰ）()fx定义域为(0,)，当0a时，e()xfxx，2e(1)'()xxfxx，令'()0fx得1x，令'()0fx得01x．所以()fx的增区间为(1,)，减区间为(0,1).（Ⅱ）2(e)(1)'()xaxfxx．（1）当ea≤时，若(1,)x，则ee0xxae≥．此时2(e)(1)'()0xaxfxx，函数()fx在1x处不可能取得极大值．（2）当ea时，ln1a．x(0,1)1(1,ln)a'()fx+0-()fx↗极大值↘函数()fx在1x处取得极大值．综上可知，a的取值范围是(e,).2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编：12导数及应用8/166、解：（Ⅰ）当6,0ax时，3215()6132fxxxx所以2'()56(2)(3)fxxxxx，令'()0,fx得2x，或3x.当x变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)3(3,)'()fx00()fx极大值极小值所以()fx在(0,+)上的单调递增区间是(0,2)，(3,)，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a时，若0x，则3215()132fxxxax，所以2'()5(5)