立体几何知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学章末归纳总结第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学1．知识结构第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学2.规律方法总结(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内．(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直．(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质．(7)证线面垂直：常用判定定理、定义．(8)证面面垂直：常用判定定理、定义．(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学3．空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下：表1直线与直线平行第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学文字语言图形符号语言直线与直线平行定义：在同一个平面内，没有公共点的两条直线平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学文字语言图形符号语言直线与直线平行公理4：平行于同一直线的两直线平行．(平行线的传递性)直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学表2直线与平面平行文字语言图形符号语言直线与平面平行定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行.直线a与平面α无公共点⇒a∥α直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学表3两平面平行文字语言图形符号语言平面与平面平行定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行.α∩β＝∅⇒α∥β平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学文字语言图形符号语言平面与平面平行推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，则这两个平面平行.平行于同一平面的两个平面平行．(平行平面的传递性)第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学表4直线与平面垂直文字语言图形符号语言直线与平面垂直定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学文字语言图形符号语言直线与平面垂直推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学表5平面与平面垂直文字语言图形符号语言平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学4.本章所涉及的一些思想方法：(1)数学研究的对象有两大块——数量关系和空间形式．其中“空间形式”主要是由几何研究的．立体几何是训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作用．第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图形．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研究．以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体几何的大厦．通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力．立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学(2)深刻体会转化思想立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思想．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P到平面α的距离等等．③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题的降维转化策略．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法．①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面转移等．②平行投影与中心投影，特别是正投影．③等积变换与割补．④展开、卷起、折叠、旋转．数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问题的方法过程中又丰富了数学思想．(4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立体几何的一些结论，从而提供思维的方向．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学一、转化的思想[例1]如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求证：BD⊥平面AEF.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[分析]要证BD⊥平面AEF，已知BD⊥AE，可证BD⊥EF或AF；由已知条件可知BC⊥平面ADC，从而BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即可获证．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析]∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∴BC⊥AC，DA⊥平面ABCBC⊂平面ABC⇒DA⊥BCBC⊥ACAC∩DA＝A⇒BC⊥平面DACAF⊂平面DAC⇒BC⊥AFAF⊥DCBC∩DC＝C第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学⇒AF⊥平面DCBBD⊂平面DCB⇒BD⊥AFBD⊥AEAF∩AE＝A⇒BD⊥平面AEF.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[点评]证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其转化关系．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[例2]四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．(1)求证：PB∥平面ACE；(2)若PB⊥AC，且PA＝2，求三棱锥E－PBC的体积．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析](1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O为BD中点，又E为PD中点，∴EO∥PB，PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学(2)作PF⊥平面ABCD，垂足为F，则F在AD上，又∵PA＝PD，∴F为AD中点，连BF交AC于M，∵PF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PF，又AC⊥PB，PB∩PF＝P，∴AC⊥平面PBF，∴AC⊥BF，∵AD＝PA＝2，∴AF＝FD＝1，BC＝2，第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学△AMF∽△ADC，∴AMAD＝AFAC，设AB＝x，则AM2＝14＋x2，又AM·1＋x2＝x，解之得x＝2，VE－PBC＝12VD－PBC＝12VP－BCD＝14VP－ABCD＝14×13AB·BC·PF＝26.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[点评]等积变换问题．．．．．．，立几向平几的转化．．．．利用直线PD与平面PBC相交，∵E为PD中点，∴E到平面PBC距离等于D到平面PBC距离的一半得VE－PBC＝12VD－PBC；利用三棱锥变换底面与高得VD－PBC＝VP－BCD；利用三棱锥的高不变，底面积成原来的2倍，则体积也为原来的2倍得VP－BCD＝12VP－ABCD.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[例3]正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点．(1)求证：BN⊥平面AMB1；(2)求三棱锥B－AB1N的体积．[分析]线面垂直与线线垂直转化，立几问题向平几转化，等积变换．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析](1)M为BC中点，△ABC为正三角形，∴AM⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，∴AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1，∴AM⊥BN，在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点，∴B1M⊥BN(想一想为什么？)，∴BN⊥平面AMB1.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学(2)VB－AB1N＝VA－BB1N＝VA－BCB1＝VB1－ABC＝13V柱＝1633，或VB－AB1N＝VA－BB1N＝13S△BB1N·AM＝1633.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学二、展开与折叠、旋转[例4]如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．不相交也不平行D．相交成60°第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析]本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力，如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.[答案]D第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[例5]已知Rt△BAC中，AB＝AC＝a，AD为斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角．(如图所示)求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析]本题是折叠问题．．．．，考察折叠前后，图形的位置关系，AD⊥BDAD⊥CDBD∩CD＝D⇒AD⊥平面BDCAD⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面BDC.同理可证平面ACD⊥平面BDC.第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[例6]已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．[解析]旋转问题，以AB为轴旋转得到两个同底的圆锥组合体易求体积为第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学三、反证法[例7]求证：不在同一平面的两两相交的三条直线必共点．[分析]要证三线共点，只需证其中两线相交于某一点，然后再证明另一条直线也通过这一点，或通过反证法得出．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学[解析]方法1：如图，∵a，b，c两两相交；设a，b确定平面α，b，c确定平面γ，a，c确定平面β，且a∩b＝O，∵O∈a，∴O∈β，∵O∈b，∴O∈γ，∴O∈γ∩β，∴O∈c(公理1)，∴a，b，c交于一点．第二章点、直线、平面之间的位置关系人教A版数学方法2：(反证法)设a∩b＝O，a，b确定平面α，若c不过O点，设a∩c＝O′，b∩c＝O″，则O′∈α，O″∈