4-4-2 圆与扇形(二).教师版

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr；扇形的面积2π360nr；圆的周长2πr；扇形的弧长2π360nr．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积所在圆的面积360n；扇形中的弧长部分所在圆的周长360n扇形的周长所在圆的周长360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积2二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算【例1】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的34倍，则角CAB的度数是________．例题精讲圆与扇形DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为21ππ122，扇形BAC的面积为π42π233．因为扇形BAC的面积为2π360nr，所以，22ππ23603n，得到60n，即角CAB的度数是60度．【答案】60度【例2】如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以,BC为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3)67CBA【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】167212ABCS△,三角形ABC内两扇形面积和为21174，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360BC°,所以120BC°,60A°.【答案】60度【例3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为2π525π，则大小圆相交部分面积为325π15π5,那么大圆的面积为422515ππ154，而2251515422，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360，所以BC弧所对的圆心角是60，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45(厘米)．【答案】45【例5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π3.14)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以ABCB，同理CBAC，则ABC是正三角形，同理，有CDE是正三角形．有60ACBECD，正五边形的一个内角是1803605108，因此60210812ECA，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是1223.1412512.56cm360．【答案】12.56【例6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r，则222Sr，2212Srr，所以12:3.142:257:100SS．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9rR，小圆面积13649，7个小圆总面积4728，边角料面积36288(平方厘米)．【答案】8【例9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239倍，那么阴影部分面积为21259π1π2.5636．【答案】2.5【例10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)BCOA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360nRS扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC，又知四边形ABCO是平行四边形，所以120ABC，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412(平方厘米)．【答案】412【例11】(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，ACCDDB，M是CD的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．MCDHNOBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．HNMODCBA本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN的面积与CHO的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．DCBAODCBAO【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846．【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)ODCBA【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD与ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为260π10.5360，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEDCBMAFEDCB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为122aa．阴影部分为：大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04．方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADMCMFSS△△，所以DCFSS阴影扇形3.1412124113.04【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)610GFEDCBA610GFEDCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的面积就成了解题的关键．月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：166π6694；则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：110669392S阴影．(法2)观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF．则ABD与BDF面积相等，那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和，也就等于DEF与扇形BED的面积之和，为：211(106)6π63924．【答案】39【例14】如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知10ABBC，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DBPCADBPCA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，那么ABD与ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓形的面积和．ABP的面积为：10102225；弓形面积：3.145545527.125；阴影部分面积为：257.12532.125．【答案】32.125【例15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π3.14)6464EDCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】连接小正方形AC,有图可见ACDABCSSSS△△阴影扇形∵211144222AC∴232AC同理272CE，∴48ACCE∴148242ACDS△290π412.56360S扇形，14482ABCS△∴2412.56828.56S阴影【答案】28.56【例16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，3r和