高数-泰勒公式 (1)

目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第三章目录上页下页返回结束特点:)(0xf)(0xf一、泰勒公式的建立)(xf))(()(000xxxfxf以直代曲0x)(1xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx的一次多项式xy)(xfyO目录上页下页返回结束1.求n次近似多项式要求:)(0!212xpan,)(0xf,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0xf))((00xxxf!21!1nnnxxxf))((00)(!1n200))((xxxf!21令)(xpn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00xpan,)(0xf)(01xpan,)(0xf1a)(202xxa10)(nnxxan2!2a20)()1(nnxxann0annxxaxxaxxa)()()(020201目录上页下页返回结束)0(之间与在nx)()(10nnxxxR)(2)1()(0)(xnRnnnn2.余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0xRn)(0xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR))(1()(011))(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0xRn0)(0xRn0)(0)(xRnn0x)01(之间与在xx)102(之间与在x目录上页下页返回结束)()()(xpxfxRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)())(()(00xxxxoxRnn目录上页下页返回结束公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn①其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR②则当)0(之间与在xx泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(])[(0nxxo])[()(0nnxxoxR注意到③④*可以证明:④式成立目录上页下页返回结束特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为)(xf)(0xf))((0xxf(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0xf))((00xxxf20)(!2)(xxf可见误差)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx目录上页下页返回结束称为麦克劳林(Maclaurin)公式.,00x则有)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xfnnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式,)10(x记目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式,e)()(xkxf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(麦克劳林公式)10(目录上页下页返回结束π)sin(212mx)cos()1(xm)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2πk2πsin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()()10(麦克劳林公式目录上页下页返回结束麦克劳林公式!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()()10(目录上页下页返回结束)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2)1(!n)1()1(n)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()()10(麦克劳林公式目录上页下页返回结束已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n因此可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()()10(麦克劳林公式目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差1!)1()(nnxnMxRM为)()1(xfn在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(目录上页下页返回结束例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:已知令x=1,得)10(!)1(e!1!2111nn)10(由于,3ee0欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当n=9时上式成立,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为目录上页下页返回结束说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过,105.076总误差限为6105.076106105这时得到的近似值不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.e!91!2111目录上页下页返回结束例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0x即当588.0x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.目录上页下页返回结束2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于x431243x2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必达法则不方便!2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(x34220limxx原式)(2216921xox329x43)(2216941xox2x43)(2216941xox目录上页下页返回结束11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx+目录上页下页返回结束内容小结1.泰勒公式其中余项))((0nxxo当00x时为麦克劳林公式.)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx目录上页下页返回结束2.常用函数的麦克劳林公式(P142~P144),ex,)1ln(x,sinx,cosx)1(x3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数xsin例如例如目录上页下页返回结束思考与练习计算)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e442xoxxx127)(lim4441270xxoxx解:原式第四节作业P1451;4;5;7;8;*10(1),(2)目录上页下页返回结束,]1,0[)(上具有三阶连续导数在设函数xf,0)(,2)1(,1)0(21fff)(xf)(21之间与在其中x证:由题设对备用题1.321))((!31xf)(21f221)(x)(!2121f有)(21f221)(x)(!2121f321))((!31xf且得分别令,1,0x,()24.f一使点目录上页下页返回结束)(21之间与在其中x)()(21fxf221)(x)(!2121f321))((!31xf1()24f()24f3211)(!3)(f3212)(!3)(f)(21f22121)(!2)(f22121)(!2)(f1下式减上式,得211()()48ff211()()48ff)10(令21()max((),())fff目录上页下页返回结束e)10(!)1(e!1!2111nn两边同乘n!e!n=整数+)10(1en假设e为有理数qp(p,q为正整数),则当时,qn等式左边为整数;矛盾!2.证明e为无理数.证:2n时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.