对于高斯过程

2.1随机过程的基本概念和统计特性2.2平稳随机过程2.3高斯随机过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6信道与噪声第2章随机过程2.1随机过程的基本概念和统计特性图2-1样本函数的总体一、随机过程的定义设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。它兼有随机变量和时间函数的特点。二、随机过程的统计特性随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是dxtxpxtXEta),()]([)(1a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。111111),()]([dxtxpxtXE1.数学期望设随机过程X(t)在任意给定时刻t1的取值X(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为p1(x1,t1)，则X(t1)的数学期望为2.方差dxtxptaxtatXEtXDt)()]([)]()([)]([)(1222；D[X(t)]常记为σ2(t)。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。3.衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数C(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。21212122211221121),;,()]()][([)]()()][()([),(dxdxttxxptaxtaxtatXtatXEttC2121212211121),;,()]()([),(dxdxttxxpxxtXtXEttRX本书主要采用自相关函数。2.2一、定义统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程{X(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及n为任意值，且x1,x2,…,xn∈R，pn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=pn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)则称X(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即有p1(x1,t1)=p1(x1)p2(x1,x2;t1,t2)=p2(x1,x2;τ)adxtxpxtXE),()]([1这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程X(t)的自相关函数尽与时间间隔有关。）（RdxdxxxpxxtXtXEttR21212211121);,()]()([),(设有一个随机过程X(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，由严格的n维概率密度函数定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值E［X2(t)］有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。二、平稳随机过程自相关函数的性质对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。设X(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]（2）R(∞)=E2[X(t)](X(t)的直流功率)具有下列主要性质：（1）R(0)=E[X2(t)]=S(X(t)的平均功率)（3）|R(τ)|≤R(0)(R(τ)的上界)三、各态历经性2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR假设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为如果平稳随机过程依概率1使下式成立：aa)()(RR“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。则称该平稳随机过程具有各态历经性。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。四、平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。TwXwPTTx2)()(lim随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号x(t)，它的功率谱密度为图2-2功率信号x(t)及其截短函数TWXEPEwPTTxX])([lim)]([)(2dTXEdpPTT2)(21)(21limdeRPjwX)()(随机过程的功率谱密度应该是每一样本的统计平均值为方便求功率谱密度函数可利用维纳--辛钦关系例2-1某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。（1）求X(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论X(t)是否具有各态历经性。解(1)先考察X(t)是否广义平稳。X(t)的数学期望为dtwAtXEtac21)cos()]([)(20dtwtwAcc)sinsincos(cos220常数）(0])sinsin(cos[cos22020dtwdtwAccX(t)的自相关函数为)]()([),(2121tXtXEttR)]cos()cos([21twAtwAEcc]}2)(cos[)({cos212122ttwttwEAccdttwAttwAcc21]2)(cos[2)(cos2122021220)(cos2122ttwAc由此可见X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以X(t)为广义平稳随机过程。所以，功率谱密度为(2)现在来求X(t)的时间平均：0)cos(12/2/limdttwATaTTcT根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R(τ)↔PX(ω)，则)]()([cosccc)]()([2)(2ccXAPdtttwAtwATRcTTcT])(cos()cos(1)(2/2/lim])22cos(cos[2lim2/2/2/2/2dtwtwdtwTAcTTcTTcTcwAcos22比较统计平均与时间平均，得a=,R(τ)=，因此，随机相位余弦波是各态历经的。a)(R2.3高斯随机过程一、定义若随机过程X(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。]2)(exp[21)(22axxp式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。图2-3正态分布的概率二、（1）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。（2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的（4）高斯过程通过线性系统其输出仍是一高斯过程。)2)(exp(21)(22axxpp(x)具有如下特性：(1)p(x)对称于x=a这条直线。(2)21)()(aadxxpdxxp1)(dxxp且有三、一维高斯分布3）a表示分布中心，σ表示集中程度，p(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。dxaxCXpxFC]2)(exp[21)()(22这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：4）正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即（1）误差函数和互补误差函数。误差函数的定义式为xtdtexerf022)(它是自变量的递增函数，erf(0)=0,erf(∞)=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即dtexerfxerfcxt22)(1)(它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。当x＞2时（实际应用中只要x＞2)即可近似有21)(xexxerfc（2）概率积分函数和Q函数。概率积分函数定义为0,21)(2/2xdtexQxtaXQCXF)()2(21)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfc四、高斯白噪声信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即2)(0npn)(2)(0nR2.4随机过程通过线性系统通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。线性系统的响应r(t)等于输入信号e(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即dthethtetr)()()(*)()(若r(t)↔R(ω),e(t)↔E(ω),h(t)↔H(ω)，则有R(ω)=H(ω)E(ω)若线性系统是物理可实现的，则r(t)=dthrt)()(如果把e(t)看作是输入随机过程的一个样本，则r(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程X(t)的每个样本与输出过程Y(t)的相应样本之间都满足上述关系。这样，就整个过程而言，便有dtXhthtXtY)()()(*)()(0Y(t)=假定输入X(t)是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程Y(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功率谱密度