专题三 第3讲 数学思想方法与答题模板建构

活用数学思想追求高效解题巧用答题模板建立答题规范第3讲数学思想方法与答题模板建构1．分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．在等比数列求和中经常对公比q进行分类，而有的数列通项公式以分段函数给出，或以(－1)n形式给出的，要分类求解．[例1](2011·四川高考)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．[解](1)由已知，an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝1±52.(2)若q＝1，则{an}的每项an＝a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然构成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl构成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即aqm－1q－1＋aql－1q－1＝2aqn－1q－1.整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，所以，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．2．方程思想在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1、d(或q)、n、an及Sn，这5个量中知道其中任意3个量的值，就可以通过运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．[例2](2011·江西高考)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．[解](1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝13.[命题角度分析]近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式；(2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合；(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．[答题模板构建][例3](2011·浙江高考)(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋122a＋132a＋…＋12na与1a1的大小．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知(1a2)2＝1a1·1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)因为d≠0.所以d＝a1＝a.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)故通项公式an＝na.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)⇒第一步列出含有a1和d的方程；⇒第二步推出a1＝d＝a；⇒第三步写出an.(2)记Tn＝1a2＋122a＋…＋12na，因为a2n＝2na，┄┄┄┄┄┄(7分)所以Tn＝1a(12＋122＋…＋12n)＝1a·121－12n1－12＝1a[1－(12)n]．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)从而，当a＞0时，Tn＜1a1；当a＜0时，Tn＞1a1.┄┄┄┄(12分)⇒第一步写出Tn的表达式；⇒第二步利用求和公式求Tn；⇒第三步分情况下结论．[套用模板解题][例4](2011·苏北四市联考)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．[解](1)因为(an＋1)2＝4Sn，所以Sn＝an＋124，Sn＋1＝an＋1＋124.所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝an＋1＋12－an＋124.即4an＋1＝a2n＋1－a2n＋2an＋1－2an，∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)．因为an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2.即{an}为公差等于2的等差数列．由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝12－122n＋1.∵Tn＋1－Tn＝12－122n＋3－12－122n＋1＝122n＋1－122n＋3＝12n＋12n＋30，∴Tn＋1Tn.∴数列{Tn}为递增数列，∴Tn的最小值为T1＝12－16＝13.[点评]本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的定义，单调数列的判断等内容．转化条件4Sn＝(an＋1)2为解题的关键．[例5](2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．[解](1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×(34)n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×[1－(34)n－6]＝780－210×(34)n－6，An＝780－210×34n－6n.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝780－210×3428＝824764＞80，A9＝780－210×3439＝767996＜80，所以须在第9年初对M更新．[点评]本题考查等差数列、等比数列的通项公式、求和公式、不等式等基础知识，考查运算能力和使用数学知识分析解决实际问题的能力，第一问分段建立函数模型，在n≤6时是等差数列模型，在n≥7时是等比数列模型．