数理统计习题

一、数理统计基础知识1.在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为4560314214试计算样本均值、样本方差和样本标准差。解样本均值12454310nxxxxn样本方差222221114353433.7819niisxxn，样本标准差21.94ss2.设有容量为n的样本A，它的样本均值为Ax，样本标准差为As，样本极差为AR，样本中位数为Am。现对样本中每一个观测值施行如下变化yaxb如此得到样本B，试写出样本B的均值、标准差、极差和中位数。解不妨设样本A为12,,,nxxx，样本B为12,,,nyyy，且iiyaxb，1,2,,,in1212nnBAyyyaxbaxbaxbyaxbnn，222221111()()11nnBiBiAiisyyaxbaxbasnn，因而BAsas.111BAnnnRyyaxbaxbaxxaR，1212212nBnnymyy3.设1,,nxx是来自1,1U的样本，试求()Ex和()Varx。解均匀分布1,1U的均值和方差分别为0和13，该样本的容量为n，因而得()0Ex，1()3Varxn4.设116,,xx是来自(8,4)N的样本，试求下列概率(1)(16)(10)Px；(2)(1)(5)Px解(1)16(16)(16)11616(10)1(10)1(10)1081(())10.84130.93702PxPxPx(2)161616(1)(1)58(5)((5))(1())[(1.5)]0.33082PxPx。5.在总体(7.6,4)N中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95，则至少为多少？解样本均值4(7.6,)xNn，从而按题意可建立如下不等式5.67.67.69.67.6(5.69.6)()0.95444xPxPnnn，即2()10.95n，所有()0.975n，查表，(1.96)0.975，故1.96n或3.84n，即样本量n至少为4。6.设116,,xx是来自2(,)N的样本，经计算9x，25.32s，试求(||0.6)Px。解因为22||()/(1)(1)/(1)xnxntnsnsn，用15()tx表示服从(15)t的随机变量的分布函数，注意到t分布是对称的，故154(||)40.6(||0.6)()2(1.0405)1xPxptss。利用统计软件可计算上式，譬如，使用MATLAB软件在命令行中输入tcdf(1.0405，15)则给出0.8427，直接输入2*tcdf(1.0405，15)-1则给出0.6854。这里的(,)tcdfxk就表示自由度为k的t分布在x处的分布函数。于是有(||0.6)20.842710.6854Px。7.设1,,nxx是来自(,1)N的样本，试确定最小的常数c，使得对任意的0，有(||)Pxca。解由于1(,)xNn，所以(||)Pxca的值依赖于，它是的函数，记为()g，于是，()(||)()(())(())gPxcPcxcncnc，其导函数为()[(())(())]gnncnc其中()x表示(0,1)N的密度函数，由于0c，0，故||||cc，从而(())(())ncnc，这说明()0g，()g为减函数，并在0处取得最大值，即0max{(())(())}()()2()1ncncncncnc于是，只要2()1nca，即(1)/2(0)/acnu就保证对任意的0，有(||)Pxca。最大的常数为(1)/2/acnu。8.设12,xx是来自2(0,)N的样本，试求21212()xxYxx的分布。解由条件，212(0,2)xxN，212(0,2)xxN，故2212()(1)2xx，2212()(1)2xx又121212(,)()()0CovxxxxVarxVarx，且12xx与12xx服从二元正态分布，故12xx与12xx独立，于是22121221212(()/2)()(1,1)(()/2)xxxxYFxxxx。9.设总体为(0,1)N，12,xx为样本，试求常数k，使得212221212()()0.05()()xxPkxxxx。解由上题，21212()(1,1)xxYFxx，212221212()()()1xxYZxxxxY，由于Z取值于(0,1)，故由题目所给要求有01k，从而()()()0.0511YkPZkPkPYYk。于是0.95(1,1)161.451kFk，这给出161.450.99381161.45k。10.设11,,,nnxxx是来自2(,)N的样本，则11niixxn，2211()1nninisxxn，试求常数c使得1nncnxxtcs服从t分布，并指出分布的自由度。解由条件：21~(,)nxN，2~(,)nxNn，222(1)~(1)nnsn，且1nx，nx，2ns相互独立，因而22211~(0,)(0,)nnnxxNNnn，故2112211()/()/)~(1)(1)/(1)nnnnnnnnxxxxnnttnsnsn。这说明当1ncn时，1~(1)nncnxxtctns，自由度为1n。二、点估计11.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计。解样本均值10501100113010801143.758x，样本标准差8211()7iisxx221[(10501143.75)(10801143.75)]796.0562因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0652.12.设总体~(0,)XU，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6试对参数给出矩估计。解由于()/2EX，即2()EX,而样本均值0.51.31.61.3410x，故的矩估计为ˆ22.68x。13.设总体密度函数如下1,,nxx是样本，试求未知参数的矩估计。（1）22(;)(),0,0pxxx；（2）(;)(1),01,0pxxx；（3）1(;),01,0pxxx；（4）1(;,),,0xpxex。解(1)总体均值22200221()()()3EXxxdxxxdx，即3()EX，故参数的矩估计为ˆ3x。（2）总体均值101()(1)2EXxxdx，所以12()()1EXEX，从而参数的矩估计12ˆ1xx(3)由110()1EXxxdx，可得2()()1()EXEX，由此，参数的矩估计2ˆ()1xx。（4）先计算总体均值与方差00111()xttEXxedxtedtedt，222011()()xtEXxedxtedt220001112xtttedttedtedt2222，222()()(())VarXEXEX由此可以推出()VarX，()()EXVarX，从而参数，的矩估计为ˆs，ˆxs。14.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩估计法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数。解（1）设该书样稿中总错字的个数为，甲校对员识别出错字的概率为1p，乙校对员识别出的错字的概率为2p，由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错别字能被甲、乙同时识别的概率为12pp，根据频率替换思想有1212ˆˆ,,abcpppp。由独立性可得矩法方程abc，解之得ˆabc。（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即ababcc。譬如，如设120,124,80abc，则该书样稿中错字总数的矩法估计为120124ˆ18680，而未被发现的错字个数的矩法估计为1861201248022个。15.设总体概率函数如下，1,,nxx是样本，试求未知参数的最大似然估计。（1）1(;),01,0pxxx；（2）(1)(;),,0pxcxxcc已故，1。解（1）似然函数为11()()()nnLxx，其对数试然函数为1()ln(1)(lnln)2nnlnLxx。将ln()L关于求异并令其为0即得到似然方程1ln()1(lnln)022nLnxx。解之得211ˆ(ln)niixn。由于42ˆ223/23ˆln(ln)ln()()0244iixxLnn，所以ˆ是的最大似然估计（2）似然函数为(1)1()()nnnLcxx，其对数似然函数为1ln()lnln(1)(lnln)nLnncxx。将ln()L关于求异并令其为0得到似然方程1ln()ln(lnln)0nLnncxx，解之可得111ˆ(lnln)niixcn。由于222ln()0Ln，这说明ˆ是的最大似然估计。16.设总体概率函数如下，1,,nxx是样本，试求未知参数的最大似然估计。（1）(1)(;)ccpxcx，,0,0xc已知；（2）1(;,),,0xpxex；(3)1(;)(),(1),0Pxkxk。解（1）样本1,,nxx的似然函数为(1)(1)1{0}()()nnccnxLcxxI。要使()L达到最大，首先示性函数应为1，其次是nc尽可能大。由于0c，故nc是的单调增函数，所以的取值应仅可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于(1)x，由此给出的最大似然估计为(1)x。（2）此处的似然函数为111()()exp{()}nniiLx，(1)x。其对数似然函数为1()ln(,)lnniixLn由上式可以看出，ln(,)L是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x，这给出的最大似然估计为(1)ˆx。将ln(,)L关于求异并令其为0得到关于的似然估计方程12()ln(,)0niixL