高中数学--必修四-2.1--平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其他一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其他学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其他学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系.唉,哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（重点）2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；（重点、难点）3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量.探究点1向量的物理背景与概念在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2）；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.向量的定义既有大小，又有方向的量叫做向量.数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小.思考:时间,路程,功,速度,加速度是向量吗?为什么?下列不是向量的是（）①质量;②速度;③位移;④温度;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.①④⑥⑦⑧【即时训练】AB探究点2向量的表示方法有向线段（起点、）(1)几何表示法：(2)字母表示法：B（终点）A（起点）方向、长度ab,,“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说法对吗？不对，①向量只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.【即时训练】探究点3向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量AB的大小,也就是向量的长度（或称模）.|AB|记作AB2．两个特殊向量：问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作0.P单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.提示：圆【即时训练】例1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.AB解：表示A地至B地的位移，且AB200km.AC表示A地至C地的位移，且AC280km.判断正误(1)零向量的方向是任意的.(3)单位向量的模都相等.(√)(4)单位向量都相等.(x)(2)0,0.若则aa(√)(X)【变式练习】（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记作：abo.ba探究点4向量间的关系a=b各向量的终点与直线l之间有什么关系？如：（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作a∥b∥c规定：与任一向量平行.问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的一点O，这时它们是不是平行向量？Ol.COC=cAOA=aOB=bB平行向量又叫做共线向量0abc下列说法正确的有________．(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3)向量AB→与BA→是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．【即时训练】【解题关键】明确向量的有关概念，根据定义进行判定．（3）【解析】(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB→、CD→必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB→与BA→是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．【方法规律】1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．【互动探究】判断下列说法是否正确，并简要说明理由：(1)零向量只有大小没有方向；(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.【解析】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．(3)不正确，向量不能比较大小．(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.两个向量是否可以比较大小？向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向量，，或这种说法是错误的.abbaba【易错点拨】例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与相等的向量.解：OACBDO;OBDCEO;OCABEDFO.OAOBOC，，方向相同长度相等ABCDFEM解：（1）DE，BF，FB，FA，AF，ED，MC（2）FB，AF，MC如图,D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与CM长度相等且共线的向量；（2）与ED相等的向量；【变式练习】1、下列说法中正确的是()A.平行向量就是向量所在直线都平行的向量B.长度相等的向量叫做相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量就是在同一直线上的向量C2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆B3.下列说法中错误的是()A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的A4.下列命题中正确的是（）A.||||ababB.||||ababC.//ababD.单位向量都相等C5.如图，D,E,F分别是等腰Rt△ABC的各边的中点，∠BAC=90°.（1）分别写出图中与向量DE,FD长度相等的向量.（2）分别写出图中与向量相等的向量.DE,FD（3）分别写出图中与向量共线的向量.FDDE,BCDEFABCDEFADEEFFCAFDADBFDCEEB解：(1)(2)DEFCAFFDCEEB(3)DEFCAFACFDCEEBCB∥∥∥∥∥∥6.已知边长为2的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量的模.AD222|AD|=2-1所以|解:DA|=3单位向量概念表示方法关系共线向量相等向量向量零向量无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵品质。——加里宁