圆锥曲线的光学性质

圓錐曲線的切線與光學性質割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關係1.切線與割線的意義：(1)當直線L與曲線交於P、Q兩相異點時，L就不再是割線，此時稱直線L為曲線的切線，P為切點。割線L繞P點旋轉，當Q點一旦與P點重合，(2)固定P點，當Q點在曲線上移動逼近P點時，此時稱L為的一條割線。本段結束0,0axyxcfby，2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當D0時，圓錐曲線與直線L沒有交點。(2)當D=0時，圓錐曲線與直線L相切於一點(L為切線)。(1)當D0時，圓錐曲線與直線L相交於相異兩點(L為割線)。可得x的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯立方程組則：本段結束P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當直線與橢圓相交於一點時，(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。此直線必為切線。TobecontinuedP與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(如下圖所示)(切線有重根判別式D=0)不一定為切線。切線交於一點。本段結束切線的性質：(1)過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。(2)圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點，但它們都不是切線。本段結束圓錐曲線切線的基本求法111.(,)0(,)fxyAxy過：外部一點，求作切線：111111(,)()(,)00()AxyyymxxfxyDmyymxx設過點的切線方程式為，則僅有一交點，利用判別式求出002.(,)0(,)fxyAxy過：上一點，求作切線：000000(,)()(,)00()AxyyymxxfxyDmyymxx設過點的切線方程式為，則僅有一交點，利用判別式求出3.(,)0mfxy已知切線斜率，求作：的切線：(,)00ymxkfxyDmymxk設切線方程式為，則僅有一交點，利用判別式求出也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜率利用公式圓錐曲線切線方程式42xcy42ycx22122xyab22122xyab22122yxab004()2yyxxc004()2xxyyc00221xxyyab00221xxyyab00221yyxxab00(,)xy過圓錐曲線上一個定點的切線20200022xxxyyyxxxyyy代換成圓錐曲線的切線方程式0000()()022xDEAxCyxyxyyF。11()()8022222xxy故所求為。圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點P(x0,y0)為切點的切線方程式為(見P.63-65)2.範例：求過點(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式為5xy12=0。解：切點P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為Let’sdoanexercise!22(1)(2,3)1818xy求過點且與橢圓相切的直線方程式。311828xy所求為。33824()()911022xyxy所求為。馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式42xcy42ycx22122xyab22122xyab22122yxab2ymxcmcymx+m222ymxamb222ymxamb222ymxbmam圓錐曲線已知切線斜率為的切線圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式122xyAB221()BxyA若曲線可表為橢圓、雙曲線2mymxBAm故所求斜率的切線為。以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設切線L：y=mx+k，2mymAxmB斜率的切線為。2。mABk代入Bx2+Ay2AB=0，因為相切x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，22()()(1)1()xhyABk若圓錐曲線可表為的形式橢圓、雙曲線，2()mykmxhAmB斜率為的切線為。22(2)1BxyA拋物線無法表為，注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切判別式D=0，即可求得k。本段結束拋物線已知斜率之切線22222244()4400(4)4(4)0ymxkxcyxcmxkxcmxckDcmckkcmymxcm設切線方程式，代入，得，整理得因相切有重根，判別式，所以則。代回得切線方程式為42xcym拋物線，求斜率為的切線221136xy已知橢圓，求斜率為的切線方程式。226613,3BxyA由，2ymxABm所求切線為，2(361)yx，即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!2211542yx已知雙曲線，求斜率為的切線方程式。225514,4BxyA由，2ymxABm所求切線為，211()2245yx，122yx，馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。12m且＃22(3)1212094xyxy求橢圓在直線上的正射影長。12m其斜率。22(3)1994,4AxyB由，211(3)()9422yx切線為，2(8)525故所求。x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃2353xxxk得2(8)41(3)0k6.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點。解：設所求y=3x+k，代入y=x2+5x+3，相切判別式D=0得切線為y=3x+19。故切點為(4,7)。x28x+(k3)=0k=19。x=4。且x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!25231xxxk得2(8)42(1)0k7k。馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點。Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。解：設所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切判別式D=0得切線為y=5x7。故切點為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0x=2。228(1)0kxx，＃PPPPP7.「曲線外」已知點的切線方程式：(1)過拋物線外一點P，有兩條切線。(2)過橢圓外一點P，有兩條切線。(3)過雙曲線外一點P，切線有三種情形：當P點為中心時，過點P的任意直線都不是切線當P點不是中心且落在漸近線上時當P點不在漸近線上且不在雙曲線內部時沒有切線。只有一條切線。有兩條切線。本段結束22(1,4)136xyP求過點且與橢圓相切的直線。226613,3BxyA由，2436(1,4)mmP代入得，22(4)36mm解，8.範例：解：點P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為x+y3=0或5xy+9=0。236ymxm設切線為，Tobecontinued注意＃1,5m得。00136xxyy則切線為，00(1,4)230xy點代入上式得，0022(,)136yxyx又滿足00(,)(,)223,)513(xy解聯立得或，00136yxxy代回，(1,4)注意：可設過(1,4)的切線其切點為(x0,y0)，得切線為x+y3=0或5xy+9=0。(x0,y0)2020136yx，Let’sdoanexercise!2211414BAxy由，，234(,3)1mm點代入得，22(3)4mm解，馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(1,3)非中心且不在漸近線2xy=0上故所求切線為13x6y+5=0或x=1(鉛直線)。24ymxm設切線為，兩條切線。解：136m得。＃點(1,3)不在雙曲線上，2(2)240xmxm整理得，2(2)41(24)0mm，9.範例：求過點(2,0)且與拋物線y=x22x+4相切的直線方程式。解：點(2,0)不在拋物線上，相切判別式D=0解得m=2或6。故所求切線為2x+y4=0或6xy12=0。設切線方程式為y=m(x2)，代入y=x22x+4，Let’sdoanexercise!2142ymxxmy以代入，22820myym整理得，2(2)4(82)0mm，1142m解得或。馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線2x=y2相切的直線方程式。Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。解：點(4,1)不在拋物線上，設切線y+1=m(x+4)，故所求切線為x+4y+8=0或x2y+2=0。相切判別式D=0，＃F平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。圓錐曲線的光學性質1.拋物線的的光學性質：由拋物線焦點F射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經反射後，都會通過焦點F。TobecontinuedPAPF，AFPPM故在的中垂線上。()QAFQP在的中垂線上任取一點QFQAQH，PPAFM即的中垂線與拋物線相切於點。PMAF連線段的中垂線即為拋物線的切線。PHA切線1F準線LQ23M故1=2。證明：設點P為拋物線上任一點注意：準線L上任一點A與焦點F且此時2=3，又QHA為直角所以Q點不在拋物線上，QAQF，1=3(對頂角相等)，本段結束404413PF的斜率43:40PFxy。244043xyyx解41y或1(,1)4Q得所求。PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。解：光線碰到上的點P(4,4)後，反射必過y2=4x的焦點F(1,0)，2.範例：一光線經過點(7,4)沿水平方向前進，Let’s