飞行器流动仿真讲稿第6章-计算流体力学的基本方法

2013年6月ComputationalFluidDynamicsTheBasicswithApplications第6.1节Lax-Wendroff显式格式第6.2节MacCormack显式两步格式第6.3节空间推进的MacCormack格式第6.4节求解椭圆型方程的松弛法第6.5节数值耗散、色散与人工黏性第6.6节交替方向隐式（ADI）方法第6.7节压强修正法第6.8节有限体积方法简介第6.9节CFD编程与计算数据的处理前已述及，偏微分方程的数学性质对数值计算方法具有重要影响，有些算法适合双曲型方程，有些算法则适合椭圆型方程；因此，任何一种具体的CFD方法都不可能适用于所有的流动问题；另外，对于给定的流动问题，也不是随便构造一种差分格式就能用于数值计算，它必须满足相容性、收敛性和稳定性的要求；本章以二维为例讲解几种经典的有限差分格式和计算方法，同时简单介绍有限体积方法。第6章计算流体力学的基本方法第6.1节Lax-Wendroff显式格式用于推进求解双曲型和抛物型方程，对时间和空间均具有二阶精度；以二维欧拉方程为例，忽略体积力和体积热源，将二维非定常欧拉方程组(2-82)式、(2-83a)式、(2-83b)式和(2-85)式写成适合时间推进的形式第6章计算流体力学的基本方法yvyvxuxutxpyuvxuutu1ypyvvxvutv1yvpxupyevxeute非守恒形式假设已知t时刻的流动参数，则通过时间推进可以得到t+Δt时刻的流动参数；以密度ρ为例。t+Δt时刻的值用泰勒级数展开计算，即一、时间推进计算22,22,,1,ttttnjinjinjinji如果已知显式计算出t+Δt时刻的密度值二阶时间精度的计算格式第6.1节Lax-Wendroff显式格式其它流动参数可以用同样的方法计算二阶时间精度22,22,,1,ttuttuuunjinjinjinji22,22,,1,ttvttvvvnjinjinjinji22,22,,1,ttetteeenjinjinjinji22,22,,1,ttttnjinjinjinji第6.1节Lax-Wendroff显式格式（6-5）（6-6）（6-7）（6-8）以上泰勒级数展开仅是一种数学表达式，一阶时间偏导数和二阶时间偏导数必须通过控制方程组来计算，才能引入描述流动的物理本质；控制方程组已经包含时间的一阶偏导数，可以直接用于计算一阶时间偏导数；例如，以二阶精度中心差分格式离散空间偏导数，可以得到密度ρ的一阶时间偏导数值二、一阶时间偏导数的计算yvyvxuxutyvyvvxuxuutnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji22221,1,,1,1,,,1,1,,1,1,,第6.1节Lax-Wendroff显式格式（6-9）同理，对动量和能量方程中的空间偏导数用二阶精度中心差分格式离散则可以得到u、v和e的一阶时间偏导数第6.1节Lax-Wendroff显式格式xppyuuvxuuutunjinjinjinjinjinjinjinjinjinji2122,1,1,1,1,,,1,1,,yppyvvvxvvutvnjinjinjinjinjinjinjinjinjinji21221,1,,1,1,,,1,1,,yvvpxuupyeevxeeutenjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji22221,1,,,,1,1,,1,1,,,1,1,,二阶时间偏导数可以通过对控制方程组（6-1）式~（6-4）式求时间偏导数来得到；例如，对连续方程（6-1）式求时间偏导数可得到密度ρ的二阶时间偏导数第6.1节Lax-Wendroff显式格式三、二阶时间偏导数的计算tvytyvtyvtyvtuxtxutxutxut222222前面已经求出用中心差分计算对连续方程、x动量方程和y动量方程交叉求导得到（6-10）例如，x动量方程对x求偏导，可得上式右端第一个混合偏导数第6.1节Lax-Wendroff显式格式xpxxpxvyuyxuvxuxuutxu2222222211xppxxpppxvvyuuyxuuuuvxuuxuuuutxunjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji2212122422,1,1,1,12,2,1,,1,,1,11,1,1,11,11,11,1,2,1,12,1,,1,,2所有空间偏导数（一阶、二阶）均用中心差分离散用同样的方法可求得速度v和密度ρ的二阶混合偏导数。综上所述，（6-10）式给出的密度ρ的二阶时间偏导数可以计算出来，然后代入泰勒级数展开（6-5）式就可显式地计算出t+Δt时刻密度ρ的值。按照同样的方法，可以显式地计算出t+Δt时刻速度u、v和e的值，然后用状态方程计算出压强p的值；Lax-Wendroff格式思路清晰直观，但由于二阶时间偏导数的推导和计算，需要繁琐的代数运算。第6.1节Lax-Wendroff显式格式第6.2节MacCormack显式两步格式MacCormack格式是Lax-Wendroff格式的改进版本，在时间上和空间上同样具有二阶精度，也是显式格式；MacCormack格式用预估步—校正步的两步计算方法避免了繁琐的代数运算；仍以二维欧拉方程的密度计算为例进行讨论。第6章计算流体力学的基本方法MacCormack格式在时间推进时，采用t时刻和t+Δt时刻之间的平均值计算一阶时间导数第6.2节MacCormack显式两步格式一、基本思想ttavnjinji,1,二阶时间偏导数不再计算，避免了繁琐的代数运算；正因为如此，需要采用平均值计算一阶时间导数，以保持格式的时间二阶精度。其它流动参数，计算方法完全相同ttuuuavnjinji,1,ttvvvavnjinji,1,tteeeavnjinji,1,注意：这不是时间一阶前差的表达式分别求出两个时刻偏导数，再平均用一阶向前差分离散连续方程（6-1）右端的空间偏导数，可得到密度在t时刻的一阶时间偏导数第6.2节MacCormack显式两步格式二、预估步计算MacCormack格式的空间偏导数不使用中心差分离散，而是通过在预估步和校正步中分别使用不同的一阶精度单侧差分来达到空间二阶精度。yvyvvxuxuutnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji,1,,,1,,,,1,,,1,,用同样的方法可以计算u、v和e的一阶时间偏导数。同理，其它流动参数的表达式为第6.2节MacCormack显式两步格式取泰勒级数的前两项计算密度的估计值（即时间层的一阶向前差分）ttnjinjinji,,1,上横线表示预估值→中间计算结果ttuuunjinjinji,,1,ttvvvnjinjinji,,1,tteeenjinjinji,,1,用一阶向后差分离散连续方程（6-1）右端的空间偏导数，并且所有流动参数均使用其预估值，可得到密度的一阶时间偏导数在t+Δt时刻的估计值，即第6.2节MacCormack显式两步格式三、校正步计算yvyvvxuxuutnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji11,1,1,11,1,1,1,11,1,1,11,1,1,于是，（6-13）式中的时间偏导数平均值就是（6-17）式和（6-21）式的算术平均第6.2节MacCormack显式两步格式1,,21njinjiavttt1,,,,1,2njinjinjiavnjinjittttt则第n+1时间层的密度值为其它流动参数计算方法完全相同。在预估步和校正步中，空间导数的向前差分和向后差分可以交换，即预估步使用向后差分，而校正步使用向前差分；实际上，在不同时间层（如相邻时间层）中也可以轮流交换空间导数的向前差分和向后差分——关键是在预估步和校正步中不能使用同侧的单侧差分；对比MacCormack格式和Lax-Wendroff格式可以看出，MacCormack格式简单得多，对于黏性计算，这一优点更为突出。Lax-Wendroff格式为求二阶时间偏导数，需要对控制方程组进行繁琐的求导运算，容易引入人为误差；第6.2节MacCormack显式两步格式四、关于MacCormack格式的几点说明MacCormack格式和Lax-Wendroff格式用于计算双曲型和抛物型方程可以求解无黏欧拉方程组、有黏Navier-Stokes方程组：定常流使用时间相关法，黏性流用二阶中心差分离散黏性项；方程组可以是非守恒形式也可以是守恒形式：对守恒形式，离散针对守恒变量进行，在一个时间层的计算结束时，需要用（2-100）~（2-104）式或（2-111a）~(2-111e)式还原成原始变量；可以沿时间推进也可以沿空间坐标推进。第6.2节MacCormack显式两步格式四、关于MacCormack格式的几点说明第6.3节空间推进的MacCormack格式仍以二维欧拉方程组为例，方程组（2-93）在二维定常条件下简化为第6章计算流体力学的基本方法JyGxFyGJxF亚声速流椭圆型MacCormack格式不适用超声速流双曲型MacCormack格式适用对于超声速流动，假设其主流方向为x方向，则其求解可以沿x轴推进，方程组的推进形式为设铅垂线x0为初值线，其上流动参数已知，则从初值线x0开始可以沿着x轴推进求解；第6.3节空间推进的MacCormack格式假设已经完成某一推进步i的计算，则i线上的流动参数均为已知值，i线成为新的初值线，现在要将其推进到i+1线；按MacCormack格式，在i+1线上某网格点j处的通量F按平均偏导数计算xxFFFavijij