1.5.2三角函数的图形变换

返回第二课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)振幅它是简谐振动的物体离开平衡位置的周期T＝它是物体往复运动所需要的时间频率f＝＝它是单位时间内往复运动的相位其中为初相A2πω1Tω2πωx＋φ最大距离一次次数φ[导入新知]在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A＞0，ω＞0)中，各参数的物理意义.复习旧知[化解疑难]简记图像变换名称及步骤(1)函数y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图像变换称为相位变换；(2)函数y＝sinx到y＝sinωx的图像变换称为周期变换；(3)函数y＝sinx到y＝Asinx的图像变换称为振幅变换．(4)因此函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．[例1]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图像的一部分，求此函数的解析式．[解]法一：(逐一定参法)由图像知A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．[例1]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图像的一部分，求此函数的解析式．法三：(图像变换法)由A＝3，T＝π，点－π6，0在图像上，可知函数图像由y＝3sin2x向左平移π6个单位长度而得，所以y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.[例1]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图像的一部分，求此函数的解析式．[活学活用]如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图像的一部分，试求该函数的解析式．解：由图可得：A＝3，T＝2|MN|＝π.从而ω＝2πT＝2，故y＝3sin(2x＋φ)，将Mπ3，0代入得sin2π3＋φ＝0，取φ＝－2π3，得y＝3sin2x－2π3.[例2]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A0，ω0，0φπ2的周期为π，且图像上一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，π12时，求f(x)的最值．[解](1)由函数f(x)图像上的一个最低点为M2π3，－2，得A＝2.由周期T＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图像上，得2sin4π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－11π6(k∈Z)，又φ∈0，π2，所以k＝1，φ＝π6.所以函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈0，π12，所以2x＋π6∈π6，π3，所以当2x＋π6＝π6，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，函数f(x)取得最大值3.[活学活用]设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．解：(1)y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝π8，则有sinπ4＋φ＝±1，即π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又－πφ0，则φ＝－3π4.(2)令2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，则kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，即函数y＝f(x)的单调增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．再令2kπ＋π2≤2x－3π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，则kπ＋5π8≤x≤kπ＋9π8(k∈Z)，即函数y＝f(x)的单调减区间为kπ＋5π8，kπ＋9π8(k∈Z)．当2x－3π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π8(k∈Z)时，函数取得最大值1；当2x－3π4＝2kπ－π2，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，函数取得最小值－1.[典例]设函数y＝cos12πx的图像位于y轴右侧的所有对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，则A1006的坐标是________．[解析]因为函数y＝cosωx的图像的对称中心是点π2ω＋kπω，0(k∈Z)，所以y＝cos12πx的图像的对称中心为(2k＋1,0)(k∈Z)，所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…，故A1006的坐标为(2011,0)．（2011,0）例3：[活学活用]1．函数y＝3sinx＋π3的图像的一个对称中心是()A．(0,0)B.π3，0C.－π3，0D．(3,0)解析：选由x＋π3＝kπ，得x＝kπ－π3，令k＝0，则x＝－π3.故－π3，0是函数y＝3sinx＋π3的图像的一个对称中心．C2．已知ω＞0,0＜φ＜π，，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.π4B.π3C.π2D.3π4A解析：选由题意可知函数f(x)的周期T＝2×(5π4－π4)＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)．令x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，将x＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k∈Z)．∵0＜φ＜π，∴φ＝π4.A返回4．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由题意知，ω＝2，因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，故f(x)的最小值为f(0)＝3sin－π6＝－32，最大值为fπ3＝3sinπ2＝3，所以f(x)的取值范围是－32，3.3,32[随堂演练]1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是()A．y＝12sinx3＋π6B．y＝12sinx3－π6C．y＝12sin3x－π6D．y＝12sin3x＋π6解析：选由最小正周期为2π3，排除A、B；由初相为π6，排除C.D2．(全国大纲卷)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图像如图，则ω＝()A．5B．4C．3D．2解析：选由函数的图像可得T2＝12·2πω＝x0＋π4－x0＝π4，解得ω＝4.B3．函数f(x)＝Asinωx＋π3(A0，ω0)在一个周期内，当x＝π12时，函数f(x)取得最大值2，当x＝7π12时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为________．解析：由题意可知A＝2.T2＝7π12－π12＝π2，∴T＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π3.f(x)=2sin(2x+)35．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2.由f(x)的图像关于点M对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，则3π4ω＋π2＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k3－23(k∈Z)，又f(x)在0，π2上是单调函数，所以T≥π，即2πω≥π.∴ω≤2.又ω＞0，∴k＝1时，ω＝23；k＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.返回练一练·当堂检测、目标达成落实处1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．课堂小结返回练一练·当堂检测、目标达成落实处2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.