两个相互垂直的同频率的谐振动的合成李萨如图形公式推导

两个相互垂直的谐振动的合成（李萨如图形）两个相互垂直的同频率的谐振动的合成结果为椭圆或直线，现提供几种推导方法供参考。x=Acos(wt+a)y=Bcos(wt+b)那么𝑥2A2+𝑦2B2−2𝑥𝑦ABcos⁡(a−b)=sin2(a−b)先看两个公式①积化和差2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)②和差化积cosα+cosβ=cos(α+β2+α−β2)+cos(α+β2−α−β2)=2cos(α+β2)cos(α−β2)证明如下：⁡⁡⁡𝑥2A2+𝑦2B2−2𝑥𝑦ABcos⁡(a−b)=cos2(wt+a)+cos2(wt+b)−2cos(wt+a)cos(wt+b)cos(a−b)=12[cos(2wt+2a)+cos(2wt+2b)]+1−[cos(2wt+a+b)+cos(a−b)]cos(a−b)(运用积化和差)=cos(2wt+a+b)cos(a−b)+1−[cos(2wt+a+b)+cos(a−b)]cos(a−b)(运用和差化积)=1−cos2(a−b)=sin2(a−b)上面只是验证已有结论而已，下面采用反三角函数直接消去参数t的方法，arccos𝑥A−a=wt=arccos𝑦B−b即arccos𝑥A−arccos𝑦B=a−b在两边同时取正弦sin(arccos𝑥A−arccos𝑦B)=sin(a−b)把左边展开得√A2−𝑥2A𝑦B−𝑥A√B2−𝑦2B=sin(a−b)两边平方(A2−𝑥2)𝑦2+𝑥2(B2−𝑦2)−2𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2A2B2=sin2(a−b)𝑥2A2+𝑦2B2−2𝑥𝑦AB(𝑥A𝑦B+√A2−𝑥2A√B2−𝑦2B)=sin2(a−b)又因为𝑥A𝑦B+√A2−𝑥2A√B2−𝑦2B=cos(wt+a)cos(wt+b)+sin(wt+a)sin(wt+b)=cos(a−b)所以……在arccos𝑥A−arccos𝑦B=a−b两边同时取余弦也能殊途同归cos(arccos𝑥A−arccos𝑦B)=cos(a−b)把左边展开得𝑥A𝑦B+√A2−𝑥2A√B2−𝑦2B=cos(a−b)两边平方𝑥2𝑦2+(A2−𝑥2)(B2−𝑦2)+2𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2A2B2=cos2(a−b)−𝑥2A2−𝑦2B2+1+2𝑥𝑦AB(𝑥A𝑦B+√A2−𝑥2A√B2−𝑦2B)=cos2(a−b)移项并做代换就ok如果两个谐振动的频率不同，而是成简单的整数比呢？x=Acos(k1t+a)y=Bcos(k2t+b)用反三角函数直接消去参数t可得arccos𝑥A−𝑎k1=t=arccos𝑦B−𝑏k2k2arccos𝑥A−k2a=k1arccos𝑦B−k1bk2arccos𝑥A−k1arccos𝑦B=k2a−k1b至此也可采取两边取余弦或两边取正弦的方法，但会涉及到sin(nθ)与cos(nθ)如何展开的问题，可以借助欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ解决，einθ=cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n,把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等，即可把sin(nθ)与cos(nθ)都只用cosθ和sinθ表示，例如cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ,sin3θ=3cos2θsinθ−sin3θ,cos4θ=cos4θ−6cos2θsin2θ+sin4θ,sin4θ=4cos3θsinθ−4cosθsin3θ……下面来看看要把斜椭圆𝑥2A2+𝑦2B2−2𝑥𝑦ABcos⁡(a−b)=sin2(a−b)旋转多少度才能变成正椭圆。复数乘法有旋转的作用(x+iy)(cosθ+isinθ)=xcosθ−ysinθ+i(xsinθ+ycosθ)以xcosθ−ysinθ换x，以xsinθ+ycosθ换y，(𝑥cosθ−𝑦sinθ)2A2+(𝑥sinθ+𝑦cosθ)2B2−2(𝑥cosθ−𝑦sinθ)(𝑥sinθ+𝑦cosθ)ABcos⁡(a−b)=𝑥2[cos2𝜃A2+sin2𝜃B2−2cos(𝑎−𝑏)cos𝜃sin𝜃AB]+𝑦2[sin2𝜃A2+cos2𝜃B2+2cos(𝑎−𝑏)cos𝜃sin𝜃AB]⁡⁡⁡−2𝑥𝑦[cos𝜃sin𝜃A2−cos𝜃sin𝜃B2+cos(𝑎−𝑏)AB(cos2𝜃−sin2𝜃)]=sin2(a−b)令黄色高亮部分等于零可得tan2θ=2ABcos(𝑎−𝑏)A2−B2换一种方法x=rcosθ，y=rsinθ，(𝑟cosθ)2A2+(𝑟sinθ)2B2−2𝑟cosθ𝑟sinθABcos⁡(a−b)=sin2(a−b)𝑟2=sin2(a−b)cos2𝜃A2+sin2𝜃B2−sin2θABcos⁡(a−b)在椭圆的长轴或短轴的端点处𝑟2将取得极值，等号右边的分母也将取极值。𝑓(𝜃)=cos2𝜃A2+sin2𝜃B2−sin2θABcos⁡(a−b)=cos2𝜃+12A2+1−cos2θ2B2−sin2θABcos⁡(a−b)=(12A2−12B2)cos2θ−sin2θABcos(a−b)+(12A2+12B2)令𝑓′(𝜃)=−(1A2−1B2)sin2θ−2cos2θABcos(a−b)=0同样可得tan2θ=2ABcos(𝑎−𝑏)A2−B2FuDanJiangLifu复旦蒋力夫