2018年高中数学达标练习：第3章-§3-3.1-基本不等式

[A基础达标]1．不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的条件为()A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B．x2y，当且仅当x－2y＝1时取等号C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x2y，当且仅当x－2y＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y0，即x2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.2．已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不确定解析：选A.因为a＞2，所以a－2＞0.又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）×1a－2＋2＝4(当且仅当a－2＝1a－2，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，所以2－b2＜2.所以22－b2＜4，即n＜4.所以n∈(0，4)，综上易知m＞n.3．下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：选D.若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与p＋q2的大小关系是()A．s＝p＋q2B．s≤p＋q2C．sp＋q2D．s≥p＋q2解析：选B.由已知得(1＋s%)2＝(1＋p%)(1＋q%)≤1＋p%＋1＋q%22＝1＋p%＋q%22，于是1＋s%≤1＋p%＋q%2.故s≤p＋q2.5．设M＝3x＋3y2，N＝(3)x＋y，P＝3xy(x，y＞0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为()A．M＜N＜PB．N＜P＜MC．P＜M＜ND．P＜N＜M解析：选D.由基本不等式可知3x＋3y2≥3x3y＝(3)x＋y＝3x＋y2≥3xy，因为x≠y，所以等号不成立，故P＜N＜M.6．若a＜1，则a＋1a－1与－1的大小关系是________．解析：因为a＜1，即a－1＜0，所以－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2（1－a）·11－a＝2.即a＋1a－1≤－1.答案：a＋1a－1≤－17．已知a＞b＞c，则（a－b）（b－c）与a－c2的大小关系是________．解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.（a－b）（b－c）≤a－b＋b－c2＝a－c2.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以（a－b）（b－c）≤a－c2.答案：（a－b）（b－c）≤a－c28．设正数a，使a2＋a－20成立，若t0，则12logat____logat＋12(填“”“≥”“≤”或“”)．解析：因为a2＋a－20，所以a－2或a1，又a0，所以a1，因为t0，所以t＋12≥t，所以logat＋12≥logat＝12logat.答案：≤9．已知f(x)＝ax(a0且a≠1)，当x1≠x2时，比较fx1＋x22与f（x1）＋f（x2）2的大小．解：因为f(x)＝ax，所以fx1＋x22＝ax1＋x22，12[f(x1)＋f(x2)]＝12(ax1＋ax2)．因为a0且a≠1，x1≠x2，所以ax10，ax20，且ax1≠ax2，所以12(ax1＋ax2)ax1·ax2＝ax1＋x22，即fx1＋x2212[f(x1)＋f(x2)]．10．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc＞3.证明：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc＝ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc－3＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc－3.因为a，b，c都是正数，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，同理ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥6.因为a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，所以ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc＞6，所以b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc＞3.[B能力提升]11．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：选D.因为2x＋2y≥22x＋y，2x＋2y＝1，所以22x＋y≤1，所以2x＋y≤14＝2－2，所以x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．12．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤x＋y22(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤（x＋y）24，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.14．(选做题)是否存在常数c，使得不等式x2x＋y＋yx＋2y≤c≤xx＋2y＋y2x＋y对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．解：当x＝y时，由已知不等式得c＝23.下面分两部分给出证明：(1)先证x2x＋y＋yx＋2y≤23，此不等式⇔3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．(2)再证xx＋2y＋y2x＋y≥23，此不等式⇔3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．综上可知，存在常数c＝23，对任意的实数x，y使题中的不等式成立．