第七章-平行线的证明讲解

知识详述1、推理证明的必要性我们认识事物，可能有偏差，有时是“想当然”，过于草率，有时是“乱花迷人眼”，观察产生了错觉，但无论哪一种情况，没有严格的证明都是不能令人放心和信服的．如当n＝1，2，3，4时，（n2－5n＋5）2都是等于1，是不是可以归纳得出：当n取任意正整数时，（n2－5n＋5）2的值都是1？2、检验数学结论是否正确的常用方法检验数学结论常用的方法：实验验证法、举出反例、推理论证等．3、定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.注意：①定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，例如“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等．②正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．4、命题：判断一件事情的句子叫做命题.命题是一个“判断句”，判断“是”或“非”.其中正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题．如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：(1)命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；(2)而且必须对某件事情作出肯定或否定的判断．如对“两直线相交”这个句子，我们无法判断它是正确的还是错误的，因而它不是命题．又如，“相等的角是对顶角”这个句子，我们可以判断它是错误的，因而是命题，而且是假命题．5、命题是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题通常可写成“如果……那么……”的形式．其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．注意：对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论往往不明显，为了指出它的条件和结论，我们可以把命题写成“如果……那么……”的形式．这样命题的条件和结论就显而易见了．6、公理、证明、定理的概念（1）公认的真命题称为公理，即在长期的实践中，人们总结出来的一些基本事实.如“两点确定一条直线”；“两点之间，线段最短”等等．（2）除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断﹒演绎推理的过程称为证明，（3）经过证明的真命题称为定理．定理只能用公理、定义和已经证明为真命题的命题来证明﹒7、证明假命题的方法证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.8、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．随堂演练例1、先观察，再验证．（1）图①中黑色的边是直的还是弯曲的？（2）图②中两条线段a与b，哪一条更长？分析：先观察得出结论，再实验验证．解：对于（1）题，直接观察图①可得出结论：黑色的边是弯曲的，但实际上，黑色的边是直的；对于（2）题，直接观察图②可得出结论：线段b比线段a短，但实际上，这两条线段同样长．点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证．例2、当x为任意实数时，x2＋4x＋5的值都大于零吗？解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，因为（x＋2）2≥0，所以（x＋2）2＋1＞0，所以当x为任意实数时，x2＋4x＋5的值都大于零．方法归纳：本题在检验数学结论时采用了推理的方式，熟练运用完全平方公式是解此题的关键．例3、请仔细观察下列各式：25＝52，1225＝352，112225＝3352，11122225＝33352，…．试写出表示一般规律的等式，并说明理由．分析：从给出的等式可以发现，等式右边是一个完全平方数，等式左边是以5结尾，由1、2、5组成的数，然后由1、2的个数与3的个数作比较找出规律，从而写出表示一般规律的等式．解：一般规律：．例4、下列语句中不是命题的是（）A．相等的角不是对顶角B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线解析：根据命题的定义可知，只有对一件事情作出判断，才能叫命题，A，B，C项都对某件事情作出了判断，只有D没有对事情作出任何判断．答案：D方法归纳：判断一个语句是否为命题应抓住两条：①命题是叙述某件事情的句子；②必须对该件事情作出判断．通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句均不是命题．例5、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一反例加以说明．（1）两个角的和是180°，则这两个角是邻补角；（2）同位角相等；（3）如果a2＝b2，那么a＝b．分析：（1）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为180°；（2）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（3）a2＝b2，a与b可能相等，也可能互为相反数．方法归纳：识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确．可先举“特例”验证，特例成立，还不能证明为真命题，要由特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法证明结论正确．若特例不成立，则原命题一定是假命题．解：（1）假命题．如图1所示，l1∥l2，则∠1＋∠2＝180°，但∠1与∠2不是邻补角．（2）假命题．如图2所示，l1与l2不平行，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．（3）假命题．例如（－3）2＝32，但－3≠3，所以是假命题．例6、指出下列命题的条件和结论．（1）等角的补角相等；（2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．分析：不仅真命题是命题，假命题也是命题．对于条件和结论不明确的命题，先把它改写成“如果……那么……”的形式．解：（1）改写成“如果两个角相等，那么这两个角的补角相等”．条件：两个角相等．结论：这两个角的补角相等．（2）改写成“如果两个三角形中的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等”．条件：两个三角形中的两边及其夹角分别相等．结论：这两个三角形全等．规律总结：把条件和结论不明确的语句先写成“如果……那么……”的形式，再指出它的条件和结论．注意命题有真假之分，假命题也是命题，也可以指出它的条件与结论．平行线的判定平行线的性质1、平行线的判定（1）判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行．（2）判定定理（一）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．（3）判定定理（二）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．2、平行线的性质定理（1）性质定理（一）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等﹒简述为：两直线平行，同位角相等﹒（2）性质定理（二）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等﹒简述为：两直线平行，内错角相等﹒（3）性质定理（三）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补﹒简述为：两直线平行，同旁内角互补﹒3、证明的一般步骤解答证明题一般有以下三个步骤：（1）画出图形——根据题意画出图形，标上必要的字母；（2）写已知、求证——用字母、符号表示命题的条件和结论；（3）写证明过程——用“∵……”、“∴……”，再注明相应依据的方式，写出证明过程．注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题﹒题目已经明确用字母、符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题，我们只需从第三步开始写即可．随堂演练例1、如图所示，若∠B＝35°，∠CDF＝145°，问AB是否与CE平行？分析：∠B与∠BDE是同旁内角，只要∠BDE＝145°，AB与CE即可平行，而∠CDF与∠BDE是对顶角．解：AB与CE平行．理由如下：∵∠CDF＝145°（已知），∴∠BDE＝∠CDF＝145°（对顶角相等）．∴∠B＋∠BDE＝35°＋145°＝180°．∴AB∥CE（同旁内角互补，两直线平行）．方法归纳：利用“同旁内角互补，两直线平行”证明两条直线平行时，要找准哪两个角是相应的同旁内角，再证明这两个角互补．例2、已知：如图所示，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：AC∥BD．分析：因为∠C＝∠D，那么AC∥BD，而∠COA＝∠BOD，∠COA＝∠C，∠BOD＝∠D，可得∠C＝∠D．证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，∠COA＝∠BOD，∴∠C＝∠D（等量代换）．∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．规律总结：本题中所形成角是内错角，所以先设法证明内错角相等．例3、如图所示，直线a，b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°．求证：a∥b．分析：可利用“同位角相等，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”证明．证法1：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＋∠2＝180°（已知），∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）．∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．证法2：∵∠1＋∠4＝180°（平角定义），∠1＋∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠4（同角的补角相等）．∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．证法3：∵∠1＋∠5＝180°（平角定义），∠1＋∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠5（同角的补角相等）．∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．点拨：证明两直线平行，关键是找到与待证结论相关的角．例4、如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证：∠ADE＝∠EFC．分析：要证∠ADE＝∠EFC，只要证出∠ADE和∠EFC都和∠B相等即可，而由DE∥BC，EF∥AB，可知这两个角都和∠B相等．证明：∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EF∥AB（已知），∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）．∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）．规律总结：在有平行线的前提下，若要求证相等的两个角不是两平行线被截所得的角，要借助一个中间量，将两者联系起来．例5、如图所示，∠1与∠2互补，∠B＝∠D，求证：AB//CD．分析：要证AB∥CD，要寻找同位角相等或内错角相等，或同旁内角互补，题中条件不能直接应用，但可作为桥梁．证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1与∠2互补（已知），∴∠2与∠3互补（等量代换）．∴DE//BF（同旁内角互补，两直线平行）．∵∠B＝∠4（已知两直线平行，同位角相等），∠B＝∠D（已知），∴∠4＝∠D（等量代换）．∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）．例6、求证：垂直于同一条直线的两条直线互相平行．分析：这是一道文字证明题，先要画出图形，写出已知、求证，再写出证明过程．已知：如图所示，直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c，b⊥c（已知），∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义），∴∠1＝∠2（等量代换），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．方法归纳：解答文字叙述类证明题的关键是正确理解文字信息，把文字表示的命题“翻译”成用图形和符号表示（即画图形，写出已知、求证），最后再写出证明过程．三角形的内角三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系．随堂演练例1、（1）在△ABC中，若∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=_________．（2）若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角为_________．（3）在Rt△ABC中，∠A＋∠B=135°，则∠B的度数是（）A．45°B．90°C．45°或90°D．不能确定答案：（1）65°（2）80°（3）C提示：（1）三角形三个内角的和等于180°，题中为等腰三角形，已知顶角，可求出其中一底角．（2）已知三个内角之比4∶3∶2，180°÷（4＋3＋2）＝20°，再按三个比值分别求出三个角，其中最大内角为20°×4＝80°．（3）在不能确定哪个角是直角的情况下，那么∠B的度数有两个．例2、（1）△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形．（2）不能判定三角形是直角三角形的条件是（）A．∠A＋∠B=∠CB．∠A=∠B=∠CC．∠A=90°－∠BD．∠A－∠B=90°（3）一个三角形