矩阵的初等变换

山东财政学院一、矩阵的初等变换与初等矩阵定义1.13,()ijmnAa设则以下三种变换：(1)交换A的两行(列);(2)用一个非零的数乘以A的某一行(列);(3)将A某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。称为A的初等行(列)变换，通称初等变换。1.6矩阵的初等变换例山东财政学院101(,)10100Pij定义1.14由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。一般的，由三种初等变换得到三种初等矩阵，分别记为(1)Eijij),P(i,j)交换的第、行（列）（得到的初等矩阵计作，演示山东财政学院(2)用非零常数k乘以E的第i行(列),得到的初等矩阵记作(()),Pik11(())11Pikk演示山东财政学院(3)将E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,得到的初等矩阵记作(,())Pijk11(,())11kPijk可以验证，初等矩阵具有以下性质：（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；（2）初等矩阵皆为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵。演示山东财政学院(1)对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘A;(2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个m阶的初等矩阵右乘A;矩阵的初等变换和初等矩阵之间有如下的密切联系：A=(a)ijmn设是矩阵，则定理1.6例山东财政学院111213121113212223222123121112132221222322212223121112133333aaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaCPaaaaaaaa例：山东财政学院二、求逆矩阵的初等变换法1.矩阵的等价标准形定义1.15如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称A与B等价。定理1.7任意矩阵A都与一个形如000rE的矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。山东财政学院推论112121212,,,,,,0.00strstmnAmPPPnQQQEPPPAQQQ对于任意矩阵存在阶初等矩阵和阶初等矩阵使得推论2,0,.00rmnAmPnEQPAQ对于任意矩阵存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得推论3.nnAAE阶矩阵可逆的充要条件是的等价标准形为山东财政学院推论4n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。11212kkAGGGEEGGGA从这两式可以看出，当对矩阵A进行有限次初等行变换，将A化为单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同的初等行变换，就将E化为1.A2.求逆矩阵的初等变换法山东财政学院对矩阵（A,E)做一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E,这时右半部分就是1,),)AEEA（行初等变换（1,:2,).AAEnnAE于是我们可以采用以下方法求将与并排在一起，组成一个的矩阵（山东财政学院1241152.1114AA求例设1253A=.13A求例设4232,1150123AXAXA求解矩阵方程其中例山东财政学院11121314111213142122232421222324313233343132333411121314112111221323142431323334222222222222aaaaaaaaAaaaaBaaaaaaaaaaaaaaaaCaaaaaaaaaaaa例：山东财政学院110011E