高一上数学期末总复习(知识点+习题含答案)

1高一上学期期末总复习第一章集合与命题1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”;“≥”的否定是“＜”，“＞的否定是“≤”；“＜”的否定是“≥”，“≤”的否定是“＞”；“=”的否定是“≠”，“≠”的否定是“＝”；“至多有一个（x≤1）”的否定是“至少有两个（x＞1）”；“至少有一个”的否定是“没有一个”；“全都是”的否定是“不全都是”；3．充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含练一练：1.甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则(B)A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2.已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a等于(D)2A．－12或1B．2或－1C．－2或1或0D．－12或1或03.设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是m－1．4.已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝-15.设全集U={不大于20的质数}，A∩CuB={3，5}，CuA∩B={7，19}，CuA∩CuB={2，17}，则A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}6.(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．解：(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，．则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围是(－∞，4]．(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.第二章不等式1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)加法法则：ab⇔a＋cb＋c.(4)乘法法则：ab，c0⇒acbc.ab，c0⇒acbc.(5)同向不等式可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)．3(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)或ax2＋bx＋c0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x∈R且x≠－b2a}R不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3．基本不等式：a＋b2≥ab(a0，b0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．一正：A、B都必须是正数二定：1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．三相等：当且仅当A、B相等时，等式成立；即①A=B↔A+B=2√AB；②A≠B↔A+B2√AB．练一练：1.不等式x－12x＋1≤0的解集为－12，12.已知全集为R，集合A＝x|12x≤1，B＝{}x|x2－6x＋8≤0，则A∩∁RB等于(C)A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x2或x4}D．{x|0x≤2或x≥4}3.不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为__{x|x＜5}__．44.已知13,24abab，求23ab的取值范围答案：（-92，132）5.设x、y∈R+且yx91=1,则xy的最小值为___16___.6.不等式226128xx的解集为[-1,3]．第三章函数的基本性质1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的图像对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．5重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．5．二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”6．函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．练一练：1.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(D)A．a－14B．a≥－14C．－14≤a0D．－14≤a≤02.求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；（2）已知3()2()3fxfxx，求()fx.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则12tx2211()(),()()22txftfx（2）因为3()2()3fxfxx，①x用x代替得3()2()3fxfxx，②6由①②消去()fx，得3()5fxx.3.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(C)A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)4.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=-265．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为多少？解：∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1=又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.6.已知：函数1()fxxx（1）作出f（x）的图像；（2）若x＞1，证明f（x）的单调性（2）设x1，x2是定义域上的任意实数，且1x1x2，则12121211f(x)f(x)x(x)xx121211()(x-x+-)xx211212xx(xx)xx12121212121(xx)(1)xxxx1(xx)()xx7.作出下列函数的图像并判断单调区间(1)y=x2-3|x|+2；(2)2|1|(-2)yxx（1）f(x)在3--2，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2，上递增.（2）f(x)在-12+，上递减，在，上递增.8.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数．(1)求实数m的值；7(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x0时，－x0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x.∴m＝2.(2)由(1)知f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋2x，x0，当x0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈(0,1]时，f(x)单调递增．当x0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增．又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增．∴a－2－1，a－2≤1，解之得1a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．9.（1）已知偶函数()fx的定义域是R，当0x时2()31fxxx，求()fx的解析式.（2）已知奇函数()gx的定义域是R，当0x时2()21gxxx，求()gx的解析式.答案：（1）2231(0)()31(0)xxxfxxxx；（2）2221(0)()0021(0)xxxgxxxxx　　　（）第四章幂函数、指数函数、和对数函数1.幂函数（1）幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.（2）幂函数的图象及性