普通最小二乘法

普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquare，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。在已经获得样本观测值iixy,（i=1,2,…,n）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为^0和^1，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线）iixy^1^0^i=1,2,…,n(2.2.2)应该能够最好地拟合样本数据。其中^iy为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。),()(1022101QuxyQiinii),(minˆˆˆˆ102110212ˆ,ˆ1100QxyyyuQniiniii(2.2.3)为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。由于21^1^012^))(()(niiniixyyyQ＝是^0、^1的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q对^0、^1的一阶偏导数为0时，Q达到最小。即0011001100ˆ,ˆ1ˆ,ˆ0QQ(2.2.4)容易推得特征方程：0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101110iiiiniiiiiiniiexxyxeyyxy解得：2^1^0^1^0iiiiiixxxyxny（2.2.5）所以有：xyxxyyxxxxnyxyxnniiniiiniiniiniiniiniii1012121121111ˆˆ)())(()()()(ˆ（2.2.6）于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记ixnx1iyny1yyyxxxiiii（2.2.6）的参数估计量可以写成xyxyxntintii101211ˆˆˆ(2.2.7)至此，完成了模型估计的第一项任务。下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。记iiiiyyueˆˆ为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。则随机误差项方差的估计量为2ˆ22neiu(2.2.8)在关于2ˆu的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考有关资料。在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量^0和^1的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（2.2.6）看成^0和^1的一个表达式，那么，则是iy的函数，而iy是随机变量，所以^0和^1也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。在本章后续内容中，有时把^0和^1作为随机变量，有时又把^0和^1作为确定的数值，道理就在于此。