高一必修二直线与圆大题练习

20.已知圆𝑀：𝑥2+(𝑦−2)2=1，𝑄是𝑥轴上的动点，𝑄𝐴,𝑄𝐵分别切圆𝑀于𝐴,𝐵两点.（1）若|𝐴𝐵|=4√23，求|𝑀𝑄|及直线𝑀𝑄的方程；（2）求证：直线𝐴𝐵恒过定点.【答案】（Ⅰ）|𝑀𝑄|=3,直线𝑀𝑄的方程为：2𝑥+√5𝑦−2√5=0或2𝑥-√5𝑦+2√5=0;（Ⅱ）证明过程见解析.【解析】（Ⅰ）设直线𝑀𝑄∩𝐴𝐵=𝑃，则|𝐴𝑃|=2√23,又|𝐴𝑀|=1，𝐴𝑃⊥𝑀𝑄,𝐴𝑀⊥𝐴𝑄，...∴|𝑀𝑃|=√1-(2√23)2=13，|𝐴𝑀|2=|𝑀𝑄||𝑀𝑃|，∴|𝑀𝑄|=3，设𝑄(𝑥,0)，而点𝑀(0,2)，由√𝑥2+22=3得𝑥=±√5，则𝑄(√5,0)或(-√5,0)，从而直线𝑀𝑄的方程为：2𝑥+√5𝑦−2√5=0或2𝑥-√5𝑦+2√5=0.（Ⅱ）证明：设点𝑄(𝑞,0)，由几何性质可以知道，𝐴,𝐵在以𝑄𝑀为直径的圆上，此圆的方程为𝑥2+𝑦2−𝑞𝑥−2𝑦=0，𝐴𝐵为两圆的公共弦，两圆方程相减得𝑞𝑥−2𝑦+3=0即𝐴𝐵:𝑦=𝑞2𝑥+32过定点(0，32).考点：直线与圆；直线方程18.已知点𝑃(2,−1).（1）求过点𝑃且与原点距离为2的直线方程；（2）求过点𝑃且与原点距离最大的直线方程.【答案】（Ⅰ）直线方程为𝑥=2或3𝑥−4𝑦−10=0;（Ⅱ）直线方程为2𝑥−𝑦−5=0.【解析】（Ⅰ）当直线斜率不存在时，方程𝑥=2适合题意．当直线斜率存在时，设直线方程为𝑦+1=𝑘(𝑥−2)，即𝑘𝑥−𝑦−2𝑘−1=0，则|2𝑘+1|√𝑘2+1=2，解得𝑘=34．∴直线方程为3𝑥−4𝑦−10=0．∴所求直线方程为𝑥=2或3𝑥−4𝑦−10=0．（Ⅱ）过点𝑃且与原点距离最大的直线方程应为过点𝑃且与𝑂𝑃垂直的直线，𝑘𝑂𝑃=−12，则所求直线的斜率为2，...∴直线方程为2𝑥−𝑦−5=0．考点：直线方程；点到直线的距离；两直线垂直17．如图，在平行四边形OABC中，过点C（1，3）做CD⊥AB，垂足为点D，试求CD所在直线的一般式方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】根据原点坐标和已知的C点坐标，求出直线OC的斜率；根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：因为点O（0，0），点C（1，3），所以OC所在直线的斜率为．，在平行四边形OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以CD⊥OC．所以CD所在直线的斜率为．所以CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；（Ⅱ）∵，BH⊥AC，∴，∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．