三垂线定理及其逆定理

三垂线定理和逆定理第1页共4页三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用；教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PAPO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,,aaAO。求证：aPO；证明：说明：（1）线射垂直（平面问题）线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。（4）直线a与PO可以相交，也可以异面。（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。例1.已知P是平面ABC外一点，,PAABCACBC。求证：PCBC。例2.已知PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。求证：,POBDPCBD。aPOAαPABCOCPBAD三垂线定理和逆定理第2页共4页例4.在正方体1AC中，求证：11111,ACBDACBC；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知：求证：证明：说明：例2．在空间四边形ABCD中，设,ABCDACBD。求证：（1）ADBC；（2）点A在底面BCD上的射影是BCD的垂心；aPOAαDABCD1C1B1A1DCBA三垂线定理和逆定理第3页共4页例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：求证：说明：可以作为定理来用。例5．已知：RtABC中，,3,42AABAC，PA是面ABC的斜线，3PABPAc。(1)求PA与面ABC所成的角的大小;(2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上；FEOαACPBACPB三垂线定理和逆定理第4页共4页作业：1.正方体1111DCBAABCD,,EF分别是1,AAAB上的点,1ECEF.求证:1EFEB。2.已知：PA平面PBC，,PBPCM是BC的中点。求证：BCAM；3.填空并证明：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。（2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。4.正方体1111DCBAABCD中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，（1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；（2）求证：PQ⊥AD．5.在正方体1111DCBAABCD中，设E是棱1AA上的点，且1:1:2AEEA，F是棱AB上的点，12CEF。求AF：FB。6.点P是ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。7.已知EAF在平面内，,,ATPPAEPAF，,,EATFATPDD。求证：DAT；MPABC