第九章-弹性体振动

第九章弹性体振动弹性体的振动：1、连续体振动2、振动时处于弹性阶段，材料均匀、各相同性连续体(结构)：弦、杆、轴梁、板、壳、一般弹性体研究方法：取微段，列平衡方程离散体的振动：研究每个自由度处的运动和外力之间的关系研究连续体每一点的运动与外力的关系坐标的连续函数乐器为何能发出不同音调、不同音色的声音？§9-1、弦的振动一、弦的振动方程弦长弦的线质量密度弦的张力:::Fl弦：柔软；张力近似为常量；略去重力和阻尼；微幅振动xyxxx),(txyy设弦只沿y轴振动e)(CFam12cos)(cos)(0:xFxxFx)(xF1)(xxF21coscos,1||21iFxFxxF)()(),(),(tansin),(),(tansin2211txxfxtxxytxfxtxy2222),(),(xtxyFttxy1222sin)(sin)(),(:xFxxFttxyxy)],(),([),(22txftxxfFttxyx0),(),(22222xtxyttxy;0),(,0),0();()0,(),()0,(tlytyxtxyxxy弦的动力学方程为偏微分方程初始条件边界条件2222),(),(xtxyFttxyF2)()(),(0tTxYtxy求主振动：0)()('')('')(2tTxYtTxY代入微分方程：)()('')()(''2xYxYtTtT20)()(''2tTtT0)()(''22xYxY波动方程二、方程求解)()(),(0tTxYtxy0)()(''2tTtT0)()(''22xYxYtCtCtTsincos)(21（1）（2）xCxCxYsincos)(43;0),(,0),0();()0,(),()0,(tlytyxtxyxxy初始条件边界条件0)(3tTC0)(sin4tTlC03C0sin4lCillii]sincos][sincos[),(21430tCtCxCxCtxyC1～C4为待定系数,2,1ixlixYisin)(振型函数：固有频率：主振动：)()(),(tTxYtxyiii]sincos[sintBtAxliiiii]sincos[sin214tCtCxC,2,1i0),(0),0(tlyty边界条件)()0,(),()0,(xtxyxxy初始条件由振型函数的正交性方程解(任意振动)：),(),(txytxyi1]sincos[siniiiiitBtAxliAi、Bi为待定系数，如何确定？)(sin1xxliAii)(sin1xxliBiii主振动：]sincos[sin),(tBtAxlitxyiiiiilii,2,1i振型函数的正交性lxxljxli0dsinsinjilji20lixxxlilA0d)(sin2liixxxlilB0d)(sin21xlixYisin)(振型函数：初始条件音调：基频的大小音色：谐波的组成（主振动叠加多少）——由激励条件确定),(),(txytxyi1]sincos[siniiiiitBtAxli◎乐器中弦的振动弦任意初始条件的振动一定是简谐振动吗？由于主振动频率相差整数倍，叠加后仍为简谐振动lixxxlilA0d)(sin2liixxxlilB0d)(sin21FliiF2与F和l有关解：初始条件例：设张紧弦在初始时刻被拨到所示位量，然后无初速地释放．求弦的自由振动．),(),(txytxyi1]sincos[siniiiiitBtAxlilixxxlilA0d)(sin2liixxxlilB0d)(sin21写出级数的前四项),(),(txytxyi1]sincos[siniiiiitBtAxli连续体与离散体振动求解的区别与联系有限质点系连续体系模型特点理想的质刚分离简化模型实际的质量刚度连续分布模型自由度数有限自由度无限自由度振动方程常微分方程组单一偏微分方程频率方程高次代数方程超越方程固有频率有限个无限个振型各自由度系数比振型函数解特点近似解精确解应用复杂结构工程计算，实用简单构件，精确解，理论探讨杆件——细而长的构件。一、直杆纵向振动运动方程平截面假定、忽略横向位移。x处微元段dx，考虑线性（小位移）问题。虎克定律求应力及内力：微元段上的惯性力：oxxdxdxxuuudxxNNNuAdx),(txuuE22)()(dxudxxAxFI§9-2、杆的纵向振动IFdxuAEAEAN达朗贝尔原理建立运动方程：dxxNNNuAdx22)()(dxudxxAxFIIFdxuAEN0)()(22NdxxNNtudxxAxxuExAN)(xNtuxAx22)()(整理得：其中：xuxAxEtuxAx)()()(22直杆纵向振动运动方程)(,)(xAxA2222xuEtu对等截面直杆：Ea令：22222xuatu表示波的传播速度波动方程(同弦振动)Ea系数由边界和初始条件确定22222xuatu求主振动(分离变量)二、方程求解)()(),(0tTxUtxu)('')()()(2xUtTatTxU0)()(''0)()(222xUaxUtTtT)sin()cos()(21tCtCtT代入微分方程22)()('')()(xUxUatTtT)sin()cos()(43xaCxaCxU为振型函数，表示杆振动形状)]sin()cos()][sin()cos([),(21430tCtCxaCxaCtxuEa位移边界条件(同弦振动边界)：22222xuatu三、不同边界条件下的解)]sin()cos()][sin()cos([),(21430tCtCxaCxaCtxu1、两端固定杆ox2/l2/l0),(),0(tlutu03C0),0(tu0),(tlu0)(sin4tTlaC,2,1iila0sinla频率方程laii固有频率Ea第一二阶振型如图所示：22222xuatuox2/l2/l2/l2/l4/l4/3l00sinla频率方程laii固有频率)]sin()cos()[sin(),(214tCtCxaCtxuiiiii),2,1()sin()sin()(ixlixaxUi振型函数(主振型)节点：振型函数中振幅为零的点。第n阶主振型有n-1个节点)]sin()cos()[sin(tBtAxliiiiiEa22222xuatuox2/l2/l)]sin()cos()[sin(),(tBtAxlitxuiiiii1),(),(iitxutxu振动全解:1)]sin()cos()[sin(iiiiitBtAxliAi、Bi由初始条件确定oxl000lxxxuxu0sin3alaC)(xuAE)cos()sin()('43xaaCxaaCxU2、两端自由杆边界条件：应力边界0,0lxx0)(0)(0lxxdxxdUdxxdUEa22222xuatu)]sin()cos()][sin()cos([)()(),(21430tCtCxaCxaCtTxUtxu04aC04C0sinal频率方程：0sinal),2,1(iial),2,1(ilaii固有频率：)cos()cos()(xlixaxUi主振型：),2,1(ioxlEa22222xuatu)]sin()cos()[cos(),(213tCtCxliCtxuiiii),2,1(ilaii固有频率：)cos()(xlixU主振型：),2,1(i第一二阶振型如图所示：2/l2/l4/l4/3l第n阶主振型有n个节点)]sin()cos()[cos(tBtAxliiiiioxlEa22222xuatu)]sin()cos()[cos(),(tBtAxlitxuiiiii11)]sin()cos()[cos(),(),(iiiiiiitBtAxlitxutxu振动全解:Ai、Bi由初始条件确定ox2/l2/l1),(),(iitxutxu1)]sin()cos()[sin(iiiiitBtAxli两端固定杆：0cos4alaC)(xuAE)cos()sin()('43xaaCxaaCxU3、一端固定、一端自由杆边界条件：位移边界0lx0)(lxdxxdU)]sin()cos()][sin()cos([)()(),(21430tCtCxaCxaCtTxUtxu频率方程：0cosal)5,3,1(2ilaii固有频率：)2sin()sin()(xlixaxUi主振型：),5,3,1(ioxl00xu应力边界0lxxu00xu03C0)(lxdxxdU),5,3,1(2iialEa22222xuatu)]sin()cos()[2sin(),(214tCtCxliCtxuiiii第一二阶振型如图所示：)]sin()cos()[2sin(tBtAxliiiii)5,3,1(2ilaii固有频率：)2sin()(xlixU主振型：),5,3,1(ioxl,3,11)]sin()cos()[2sin(),(),(iiiiiiitBtAxlitxutxu振动全解:Ai、Bi由初始条件确定oxlEa22222xuatu1)]sin()cos()[cos(),(iiiiitBtAxlitxu振动全解:ox2/l2/l1)]sin()cos()[sin(),(iiiiitBtAxlitxuoxl,3,1)]sin()cos()[2sin(),(iiiiitBtAxlitxu)5,3,1(2ilaii固有频率：),2,1(ilaii),2,1(ilaii例题求轴向力在时突然释放时的振动反应初始条件：，各点应变：解：将代入：→用乘两边沿全杆积分：P0t0ttconsAEPtan/0,00tttuxu)2sin(xljoPl,3,1)]sin()cos()[2sin(),(iiiiitBtAxlitxuxAxliii,3,1)2sin(,3,1)]cos()sin()[2sin(iiiiiiitBtAxlitu0)2sin(,3,1iiiBxli0iB利用求得：,3,1)2sin()2