第006章-连续系统的振动

《振动力学》讲义第6章连续系统的振动第6章连续系统的振动§6.1一维波动方程§6.2梁的弯曲振动§6.3假设模态法§6.4模态法综合法§6.5有限元法§6.6梁弯曲振动的一些特殊影响因素《振动力学》讲义第6章连续系统的振动第6章连续系统的振动可以用有限个自由度精确描述的系统称为集中参数系统或离散系统，前面几章学习的都是这种系统，其力学模型由一些具有单一力学特性的元件（集中参数元件）构成，如质点、刚性质量、纯弹性件和阻尼器等，有很多实际系统近似为集中参数系统。但大部分实际系统，理论上说不能用有限个自由度精确描述其力学行为，比如一根梁就是如此；其力学模型只能用一些场参数来描述，如几何形状、温度分布、质量分布、杨氏模量等，其力学行为也只能用一些场参数来描述，如位移场、速度场等，因此这类系统称为分布参数系统或连续系统。本章以一维分布参数系统为例，介绍振动分析的一些解析方法以及近似分析方法（即用一个集中参数系统来近似替代）。《振动力学》讲义第6章连续系统的振动§6.1一维波动方程1.动力学方程（1）杆的纵向振动如图，如果杆中各质点的振动方向平行于杆的轴线，称杆作纵向振动。只研究细长杆，可假设振动中杆横截面保持为平面。EaxuatuFdxxFFtuSdxxuESSESF,)()(Newton2222222控制微分方程：定律：截面内力：(6.1)设杆横截面的运动位移为u(x,t),取杆微元dx，分析如下：《振动力学》讲义第6章连续系统的振动（2）直弦的横向振动（微振动）研究张紧直弦的振动，设弦的横向挠度为y(x,t)，忽略振动中张力和长度变化。取如图6.2弦微元dx，分析如下：形如(6.1)的方程称为一维波动方程。FFdxqdxxqqxyO图6.2弦的横向振动《振动力学》讲义第6章连续系统的振动llFaxyatyFdxxFFdxxFtydxyxyFqqqqqqq,)(sin)sin()()(Newton2222222控制微分方程：：向定律常值；张力、几何关系：(6.2)《振动力学》讲义第6章连续系统的振动（3）轴的扭转振动转符合平面假设，可以推出精确的波动方程。设轴横截面的扭转角为q(x,t)，取如图圆轴单元dx，分析如下：(6.3)qqqqGaxatdxIdxRdxRRdmRTdxxTTtdmRxGITPP,222)()2(222224222222控制微分方程：而定轴转动微分方程：截面扭矩：轴单元的转动惯量图6.3轴的扭转振动TTdxxTxdxqx《振动力学》讲义第6章连续系统的振动（4）杆的剪切振动移为y(x,t)，取如图杆单元dx，分析如下：GaxyatyFdxxFFtySdxxySGGSSFSSSS,)()(Newton2222222控制微分方程：定律：截面内力：(6.4)《振动力学》讲义第6章连续系统的振动2.波动方程的模态以上得到的一维波动方程，如方程（6.1），为二阶线性偏微分方程，可以用分离变量法求得解析解。令方程左边是时间的函数，而右边是空间坐标的函数，因此左右边只能都等于一个常数，设为l这是两个单变量常微分方程，第一个方程的两个基本解为0)()()(,0)()(0;)(,0)(,)(222121xaxtqtqtqetqetqttlllll得，设必须如果2()()0,()()0qtqtaxxll(6.5)(,)()()uxtxqt2()()()()qtxaqtx代入（6.1），得《振动力学》讲义第6章连续系统的振动得两个方程的通解为1212()sincossin()()sincosqtBtBtAtxxxDDaaq所以，波动方程度通解为(6.6)12(,)(sincos)sin()xxuxtCCtaaq其中D1，D2和A这三个积分常数已经合并成两个常数C1，C2。下面来讨论(6.6)式中的积分常数的确定问题。式中有4个积分常数，它们为这些积分常数需要用初始条件和边界条件来确定。为此，我们重新考察波动方程12,,,CCq《振动力学》讲义第6章连续系统的振动22222uuatx这个方程，关于时间变量t和空间变量x的导数均为二阶，因此，对时间变量积分，会出现两个积分常数，对空间变量积分也会出现两个积分常数。进而，确定这4个积分常数，分别需要用两个初始条件和两个边界条件。我们先来应用边界条件。比如两端简支梁，其边界条件为(0,)0,(,)0utult由(6.6)式，得120100sincosCllCaa(6.7a)《振动力学》讲义第6章连续系统的振动方程（6.7a）称为系统的频率方程或特征方程。以上方程必须有非零解，否则，C1=C2=0，振动恒为零，讨论就没有意义了。因此，方程左边的矩阵行列式必须为零，得频率方程为sin0la由此可以确定参数。将任一个确定的值代入方程（6.7a）后，可知参数C1、C2中只能确定一个，另一个可以取任何非零值（即待定）。因此，应用边界条件后，通解（6.6）中还有两个待定常数，需要由初始条件来确定。(6.7b)由以上讨论可知，我们也可以将时间函数q(t)和空间函数(x)写为12()sin(),(,)sincosxxqttxtCCaaq《振动力学》讲义第6章连续系统的振动我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波。由于杆为无限长，没有边界条件，因此，杆中形成的初始振动将随时间和空间无耗散地不断变化。波动方程在无限长杆中的一个解可以写为如下形式图6.5t1t2t3()cos()cos();xutAtAxtaa这样，我们可以将关于u(x，t)的边界条件转换为关于空间函数(x)的边界条件。《振动力学》讲义第6章连续系统的振动21212(0)()0(0)()00sincos0()00sin0uullCllCCaaxlCCa要使上式满足，并使，应有为不等于零的任意常数，，举例：如图，设纵振动杆两端固定，则边界条件为l两端固定的杆,1,2,...iliaiial由此可确定：其波形如图6.5，变化过程是整个空间波形以速度a向右移动，因此参数a称为波的传播速度（波速）或相速度。因此，前面的几种物理模型中，波的传播速度为常值。《振动力学》讲义第6章连续系统的振动()sin,1,2,...(,)sinsin(),1,2,...siniiiiiiixxilixuxtAtilixlq进而而上式的含义为整个杆以的形状作同步简谐振动，振动频率为。显然，这种振动是系统固有的，与外界无关，因此就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数（模态），而且有无穷多个。中心的地位，所起的作用也类似。siniixl和《振动力学》讲义第6章连续系统的振动由于横振弦、纵振杆和扭振轴有相同的波动方程，它们的运动具有相同的规律，常见边界条件下的模态如下表：边界条件两端固支两端自由一端固定一端自由固有频率振型函数0)()0(l0)()0(l0)()0(l,...2,1ilaii,...2,1ilaii,...2,1212ilaiilxiicos)212sin(lxiilxiisin《振动力学》讲义第6章连续系统的振动例6.1一端固定、自由端有集中质量m。求杆纵振动的固有频率和模态函数。lOESmx例6.1图解：固定端的边界条件是显然的，为(0,)0ut为了写出自由端的边界条件，参见图a。由集中质量的力平衡，可得右端边界条件为图(a)集中质量和杆端的受力(,)mult(,)ultESxl(,)ult(,)mult(,)ultESx《振动力学》讲义第6章连续系统的振动(,)(,)(,)0(,)ultultESmultESmultxx以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的，称为几何边界条件，第二个边界条件是由杆端的力平衡条件给出的，称为力边界条件。当杆作模态振动时，有(,)()sin()uxtxAtq由此，前面的两个边界条件变为2(0)0,()()ESlml将（6.6）式代入上式，得220,cossinllCESmaaa《振动力学》讲义第6章连续系统的振动解：边界条件为(0)0,(,)(,)(0)0,()()uSEultkultlkl代入一维波动方程的通解(6.6)，得21212120(cossin)(sincos)()00cossin0CllllSECCkCCaaaaaaxllCCSEkaaa要使上式满足，并使，应有为不等于零的任意常数，，例6.2求图示纵振杆的模态。例6.2图ES，lkx《振动力学》讲义第6章连续系统的振动cossin0tan0()tan0,llSEkaaalSEllllSEaklaaaakl特征方程为即因此，给一个就可求出对应的固有频率i；而与各个i相应的振型函数为axxiisin)(1.229246e+0004.493409e+0007.725251e+0001.090412e+0011.406619e+0011.722075e+0011()6la时的前个根：al()la0.51.52.53.54.55.5《振动力学》讲义第6章连续系统的振动例6.3一长为l的弦，单位长度的质量为，弦中张力为T，左端固定，右端连接于另一弹簧质量系统的质量m上，m只能作上下微振动，其平衡位置即在y=0处，如图所示。求此弦横向振动的频率方程。（在振动过程中，弦的张力T视为不变）解：由（6.6）式，弦振动微分方程的解为(,)(sincos)sin()yxtCxDxtaa(a)mklxyO例6.3图Tq()myl()kylm(a)《振动力学》讲义第6章连续系统的振动其中Ta。x=0处的边界条件为(0,)0yt由此得0D参见图a，由质量m的力平衡，可得x=l处的边界条件为22(,)sin(,)0yltTkyltmtq由于m只能作微振动，所以(,)sinyltxqq(b)《振动力学》讲义第6章连续系统的振动于是，得22(,)(,)(,)0yltyltTkyltmxt(c)将式（b）代入（a），再将结果代入（c），可得频率方程2cossinsin0lllTkmaaaa2()tan()1llalaa或其中,Tlklm《振动力学》讲义第6章连续系统的振动§6.2梁的弯曲振动1.动力学方程本节只研究细直梁，并且不考虑梁横截面的剪切变形和绕中性轴转动惯量的影响。这样的梁理论称为Bernoulli-Euler梁理论，即垂直于中性轴的平截面在梁的弯曲过程中始终保持平面，且垂直于弯曲后的中性轴。OxxydxMFSMMdxxSSFFdxxf(x,t)dx图6.6梁的弯曲振动《振动力学》讲义第6章连续系统的振动如图，设梁的横向位移为y(x,t)，取梁微元dx，分析如下：2222Newton()(,)(,)SlSSSlFyydxFFdxfxtdxtxFyfxttx向用定律：(6.8)22()(,)02SSSMdxMFdxMdxfxtdxxFMMFxxx矩平衡：《振动力学》讲义第6章连续系统的振动222222()sFyyMEIEIxxxx而由材料力学已知代入(6.8)式，得