理论力学第七章刚体的简单运动

理论力学2020年4月2日第二部分运动学第七章刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动第七章刚体的简单运动§7-1刚体的平行移动(平移)§7-2刚体的定轴转动§7-3转动刚体内各点的速度和加速度§7-4轮系的传动比§7-5角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢积表示运动学/刚体的简单运动§7-1刚体的平行移动(平移)一、刚体平移的定义刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移。直线平移电梯的升降曲线平移荡木AB的运动平移刚体上任一点的轨迹可能是直线或曲线运动学/刚体的简单运动运动学/刚体的简单运动AB在运动中方向始终不变，大小亦始终不变(因为是刚体)。其上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线。由A、B两点的运动方程)()(trrtrrBBAAABABrrr又)0dd(dd)(ddddtrvtrrrttrvABAAABABBAAABABBatrrrttra222222dd)(dddd同理运动学/刚体的简单运动二、刚体平移的特点1）刚体上各点轨迹的形状相同。2）同一瞬时，刚体上各点的速度和加速度完全相同。因此，平移刚体的运动学问题，可归结为点的运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代表刚体上其它各点的运动。于是有结论:运动学/刚体的简单运动§7-2刚体的定轴转动运动学/刚体的简单运动一、刚体定轴转动的定义刚体在运动过程中，其上或其扩部分有两点保持不动时，称刚体绕定轴转动，简称转动。过两固定点的不动直线称为轴线或转轴（图中z轴即为转轴）。二、刚体定轴转动的特点不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。运动学/刚体的简单运动在刚体上任取一平行于轴的直线A1A2，则A1A2作平动，可取其上任一点A代表A1A2的运动。所以，绕z轴转动的刚体可简化成投影在oxy平面上的平面图形绕O点的转动。为描述转动刚体在空间的位置随时间的变化，需建立转动方程。2）平面图形的位置是可由角决定，称为刚体的转角或角坐标。三、刚体的转动方程1）定轴转动刚体的简化运动学/刚体的简单运动=f(t)=(t)—单位为弧度(rad),代数量符号规定:从z轴正向看,逆时针为正,顺时针为负。四、定轴转动刚体的角速度和角加速度1.角速度ddΔΔlim0Δttt单位：rad/s(代数量)3）刚体转动方程符号规定:从z轴正向看,逆时针为正,顺时针为负。运动学/刚体的简单运动2.角加速度（表征角速度变化快慢）220ddddlimtttt单位：rad/s2(代数量)与方向一致为加速转动，与方向相反为减速转动。当=常数，=0+t,为匀速转动；当=常数，=0+at,=0+0t+1／2at2，为匀变速转动。工程中常用转速n（转/分r/min），则n与的关系为:)nn(rad/s30602运动学/刚体的简单运动§7-3转动刚体内各点的速度和加速度一、速度v和角速度之间的关系、对整个刚体而言(各点都一样)；v、a对刚体中某个点而言(各点不一样)。tstsvt0limddRtRt0limoR转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动半径与刚体的角速度的乘积。速度的方向沿圆周的切线方向，指向与角速度的转向一致。转动刚体上各点的速度方向与其转动半径垂直。速度的大小与转动半径成正比。运动学/刚体的简单运动二、加速度a与角速度和角加速度的关系tvaddRRRvan222)(4222Raaan22tanRRaanRtRtdd)(ddRoR运动学/刚体的简单运动①v方向与转向保持一致，R，与R成正比。②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都相同,且小于90o,在同一瞬时的速度和加速度的分布图为:结论:42Ra2tan各点速度分布图各点加速度分布图a运动学/刚体的简单运动试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度方向。例7-1运动学/刚体的简单运动M解：RaRaRaMsin已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时求：转动方程;t＝5s时，Ｍ点的速度和法向加速度的大小。,m/s402Ma30例7-2sinMa4.030sin402rad/s50aτ运动学/刚体的简单运动Mtt500m/s100520Mv222m/s250004.0100RvaMnM当ｔ＝5s时,00225:t转动方程ttRvM20504.0222025502121tttt运动学/刚体的简单运动解：AB杆为平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时，M、A两点具有相同的速度和加速度。例7-3平行四连杆机构在图示平面内运动。m，m，m，如按的规律转动，其中以rad计，t以s计。时，M点的速度与加速度。2.021BOAO6.021ABOO2.0AMAO1tπ158.0t运动学/刚体的简单运动A点作圆周运动，其运动方程为tAOsπ31π3ddtsvA（m/s)0ddtvaA2212π452.0π9AOvaAnA（m/s）8.0t(s)时，π4.2s(m)，2.01AO(m)，π122.0π4.2此时AB杆正好第六次回到起始的水平位置O点处、的方向如图示MvMa运动学/刚体的简单运动例7-4某主机采用一台电动机带动，起动时，电动机转速在5s内由零均匀升到n＝500rpm，此后由此转速作匀速运动如图示。试计算：(1)电动机启动阶段内的角加速度；(2)10s钟内电动机转过的转数。在起动阶段电动机作匀变速转动解:(1)角加速度为3.5230π50030πnrad/s46.1053.52rad/s252.3＝0＋α×5运动学/刚体的简单运动（2）电动机在10s内转过的转数在t1＝5s内,电动机作匀变速转动，转过的角度为8.130546.1021212211trad从t1＝5s后，电动机作匀速转动，到t2＝10s时，转过的角度为,rad。所以，电动机在10s内共转过的角度为262)510(3.522t8.3922628.13021rad因为每转等于2rad，所以以转数表示有5.62π28.392转运动学/刚体的简单运动§7-4轮系的传动比一、齿轮传动机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。运动学/刚体的简单运动①两轮接触点的速度大小、方向相同；②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。•齿轮传动特点外啮合内啮合运动学/刚体的简单运动11RvA22RvB两齿轮之传动比：1221RR1212zzRR又2121nn由于转速n与有如下关系:•传动比12122112zzRRi2112i30602nn运动学/刚体的简单运动121221212,1zzrrnni外啮合取–，內啮合取+。的乘积齿数所有主动轮半径的乘积齿数所有从动轮半径推广)()()1(:11,1mnnnnni其中m为外啮合齿轮的对数。考虑到转向,则有)()(齿数主动轮半径齿数从动轮半径运动学/刚体的简单运动减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36、z2=112、z3=32和z4=128。如主动轴Ⅰ的转速n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。从齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为4114nnimin/1174.1214501414rinn故例7-5解：4.12323612811231422)1(zzzz运动学/刚体的简单运动二、皮带轮（链轮）传动①皮带不可伸长（理想化）；②设皮带与轮之间无相对滑动；③皮带（链条）上各点v，a大小相同。BAvv(方向可不同)BBAArrABBAABrri皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。•传动特点•传动比运动学/刚体的简单运动§7-5角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢积表示一、角速度和角加速度的矢量表示按右手规则确定，的方向。kkkttddddtdd22ddddtt角速度矢：角加速度矢：均为滑动矢量运动学/刚体的简单运动二、刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示Rvvrtrtvad)(dddvraaRrrsin||ravanrvvanratrrtdddd||90sin||2noaRvv||rsinr半径R=100mm的圆盘绕园心转动，图示瞬时点A的速度例7-6，点B切向加速度求角速度、角加速度。并写出C点的加速度的矢量表达式。解：由A点k2由B点：k5.1对C点：2s/mm8.1769.388jiaC课后作业:7—17—47—67—13