湖南省2015年对口升学数学模拟试题及答案

湖南省2015年对口升学数学模拟试题一、选择题：（每小题4分，共40分）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，集合B={2,𝑎,𝑏}，若A∩B=∅，A∪B=U，则a+b=()A.10B.9C.8D.72.已知f(x)=𝑙𝑜𝑔𝑎(2−𝑎𝑥)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,2)D.[2,+∞)3.已知tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0两根，则3𝑠𝑖𝑛2(α+β)−𝑐𝑜𝑠2(α+β)=（）A.-1B.1C.2D.-24.在等比数列{a𝑛}中，𝑎1+𝑎2=20,𝑎3+𝑎4=80,则𝑎7+𝑎8=()A.320B.640C.960D.12805.”x5”是”x225”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知向量|𝑎⃗|=3，|𝑏⃗⃗|=4，|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=5，则|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=()A.3B.4C.5D.107.甲乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）A.13B.14C.12D.无法确定8.(1+𝑥)2+(1+𝑥)3+(1+𝑥)4+⋯+(1+𝑥)30的展开式中含x2的系数为（）A.𝐶313B.𝐶312C.𝐶303D.𝐶3029.若正四棱柱𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1-ABCD的底面边长1，A𝐵1与底面ABCD成60°角，则点𝐴1到直线AC的距离为（）A.√33B.1C.√2D.√310.设𝐹1𝐹2是双曲线𝑥24𝑚-𝑦2𝑚=1(m0)的两个焦点，点P在双曲线上，且𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，∆P𝐹1𝐹2的面积为1，则m=()A.12B.2C.1D.14二、填空题：（每小题4分，共20分）11.一个容量为20的样本数据，分组组距与频数如下：（10，20]2;(20,30]3;(30,40]4;(40,50]5;(50,60]4;(60,70]2,则样本在区间（10，50]频率为____________12.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，f(2𝑎2+𝑎+1)f(3𝑎2-2𝑎+1),则𝑎的取值范围是_____________(用区间表示)13.已知圆的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=9，过圆内一点P（2，3）作弦，则最短弦长为___________14.有5个座位连成一排，3人去就坐，每人坐一个座位，则恰有两个空位相邻的坐法数为______________15.已知正六棱锥底面边长为𝑎,体积为√32𝑎3,则侧棱与底面所成的角为_________三、解答题：（每小题10分，共60分）16.已知f(x)={𝑐𝑥+1,0𝑥𝑐2−𝑥𝑐2+1,𝑐≤𝑥1，满足f(𝑐2)=98（1）求常数c的值（2）已知函数𝑔(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑐𝑥−1)过点（−2，1），解不等式𝑔(𝑥)017.数列{𝑎𝑛}的前项和记为𝑆𝑛，𝑎1=1,𝑎𝑛+1=2𝑆𝑛+1(n≥1)（1）求{𝑎𝑛}的通项公式（2）等差数列{𝑏𝑛}的各项为正，其前n项和为𝑇𝑛，且𝑇3=15，又𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2,𝑎3+𝑏3成等比数列，求𝑇𝑛18.已知向量𝑎⃗=(sinθ,1),𝑏⃗⃗=(1,cosθ),−𝜋2𝜃𝜋2（1）若𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗,求θ（2）求|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|的最大值19.已知箱中有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和。（1）求X的分布列（2）求X的数学期望E(X)20.在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，已知𝑎、𝑏、𝑐成等比数列，且cosB=34。（1）求𝐶𝑂𝑆A𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶的值（2）设𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32，求𝑎+𝑐的值21.过抛物线𝑦2=2px(p0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点C（-2，-2）。（1）求抛物线的标准方程（2）求直线AB的方程（3）求圆的方程。参考答案一.ACBDACCADC二.11.0.7;12.(0,3);13.4;14.24;15.45°三.16.(1)∵0𝑐1∴𝑐2𝑐由f(𝑐2)=98得𝑐3+1=98,c=12(2)由(1)得𝑔(𝑥)=log𝑎[(12)𝑥−1],过点（−2，1），得𝑎=3不等式𝑔(x)0即为log3[(12)𝑥−1]0解得：x−117.(1)由𝑎𝑛+1=2𝑆𝑛+1(𝑛≥2)，可得𝑎𝑛=2𝑆𝑛−1+1(𝑛≥2)两式相减得：𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑎𝑛,𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛又∵𝑎2=2𝑆1+1=3∴𝑎2=3𝑎1故{𝑎𝑛}是首项为1，公比为3的等比数列即{𝑎𝑛}的通项为𝑎𝑛=3𝑛−1(2)设{b𝑛}的公差为d由𝑇3=15得𝑏1+𝑏2+𝑏3=15可得：b2=5所以𝑏1=5−𝑑,𝑏3=5+𝑑又𝑎1=1,𝑎2=3,𝑎3=9由题意可得：(5−d+1)(5+d+9)=(5+3)2解得：d1=2,𝑑2=10因为{𝑏𝑛}各项为正，所以d0,即d=2所以𝑇n=3𝑛+𝑛(𝑛+1)2×2=𝑛2+2𝑛18.(1)∵𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗∴sin𝜃+cos𝜃=0即tan𝜃=−1而θ∈(−𝜋2,𝜋2)∴𝜃=−𝜋4(2)|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=√3+2(sin𝜃+cos𝜃)=√3+2√2sin(𝜃+𝜋4)当θ=𝜋4时，|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|的最大值为√2+119.(1)X可能取值为3,4,5,6p(X=3)=𝑐53𝑐93=542p(X=4)=𝐶52𝐶41𝐶93=1021P(X=5)=𝑐51𝑐42𝑐93=514p(X=6)=𝑐43𝑐93=121则X的分布列为：X3456P5421021514121(2)E(X)=3×542+4×1021+5×514+6×121=13320.(1)∵a,b,c成等比数列∴b2=𝑎𝑐又∵𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶∴𝑠𝑖𝑛2𝐵=sin𝐴sin𝐶又∵cos𝐴sin𝐴+cos𝐶sin𝐶=sin(𝐴+𝐶)sin𝐴sin𝐶=sin𝐵𝑠𝑖𝑛2𝐵=1sin𝐵又∵cos𝐵=34∴sin𝐵=4√77故cos𝐴sin𝐴+cos𝐶sin𝐶=4√77(2)∵𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎𝑐cos𝐵=34𝑎𝑐=32∴𝑏2=2又∵𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=𝑏2𝑎2+𝑐2=52𝑏2又∵(𝑎+𝑐)2=𝑎2+𝑐2+2𝑎𝑐=52𝑏2+2𝑏2=92𝑏2=9∴𝑎+𝑐=321.(1)由已知得准线方程为x=−2∴𝑝2=2𝑝=4故所求的抛物线方程为𝑦2=8𝑥(2)令A(𝑥1,𝑦1)𝐵(𝑥2,𝑦2)由已知以AB为直径的圆相切于点(−2，−2)∴y1+𝑦2=−4由{(𝑦1)2=8𝑥1(𝑦2)2=8𝑥2两式相减得：𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=8𝑦1+𝑦2=−2即𝑘𝐴𝐵=−2又直线AB过抛物线的焦点(2，0)所以所求AB直线方程为2x+y−4=0(3)令圆心坐标为(𝑎,b)由(2)得b=−2又∵(𝑎,b)在2x+y−4=0上∴𝑎=3(𝑥1+𝑥2=6)又∵|𝐴𝐵|=𝑥1+𝑥2+𝑝=6+4=10∴r=5故所求圆的方程为(𝑥−3)2+(𝑦+2)2=25