chapter-5-有限差分法

15有限差分法(FiniteDifferenceMethod)‹5.1简介‹5.2差分原理及逼近误差‹5.3差分方程‹5.4截断误差和相容性‹5.5收敛性与稳定性‹5.6Lax等价定理‹5.7基于差分的分析系统的组成‹5.8有限差分分析软件25.1简介z有限差分法：用差分代替微分，是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。z有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。z有限差分法在材料成形领域中的应用较为普遍，与有限元一起成为材料成形计算机模拟技术的主要两种数值分析方法。z目前材料加工中的传热分析（如铸造成形过程中的传热凝固、塑性成形中的传热、焊接成形中的热量传递等）、流动分析（如铸件充型过程，焊接熔池的产生、移动，激光熔覆中的动量传递等）等可以用有限差分方式进行模拟分析。特别是在流动场分析方面，与有限元相比，有限差分法有独特的优势，因此目前进行流体力学数值分析，绝大多数都是基于有限差分法。35.1简介z基本思想：¾把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；¾把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；¾以Taylor级数展开等方法把控制方程和定解条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。¾然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。45.1简介z主要内容：¾如何根据问题的特点将定界区域作网格划分；¾如何把原微分方程离散化为差分方程组；¾如何解此方程组；¾为了保证计算过程的可行性和计算结果的准确性，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性等问题。5z有限差分法的具体操作分为两个部分：（1）用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式；（2）求解差分方程组。在第一步中，我们通过所谓的网格分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。5.1简介65.2差分原理及逼近误差z差分原理设有x的解析函数，从微分学的角度函数y对x的导数为：xxfxxfxydxdyxxΔ−Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ)()(limlim00)(xfy=导数差商其中，dy、dx分别是函数及自变量的微分，相应的、分别称为函数及自变量的差分。yΔxΔ7z差分原理在导数的定义中，是以任意方式趋近于零的，因而可正可负。在差分方法中，总是取一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有3种形式：向前差分：向后差分：中心差分：xΔxΔxΔ一阶差分)()(xfxxfy−Δ+=Δ)()(xxfxfyΔ−−=Δ)21()21(xxfxxfyΔ−−Δ+=Δ8)(2yyΔΔ=Δ[])()(xfxxf−Δ+Δ=)()(xfxxfΔ−Δ+Δ=[][])()()()2(xfxxfxxfxxf−Δ+−Δ+−Δ+=)()(2)2(xfxxfxxf+Δ+−Δ+=以向前差分为例可得到二阶差分：z差分原理9)(1yynn−ΔΔ=Δ[])(2yn−ΔΔΔ={[]})(yΔΔ⋅⋅⋅ΔΔ={[]})()((xfxxf−Δ+Δ⋅⋅⋅ΔΔ=依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分得到，例如n阶向前差分为：z差分原理…10z差分原理函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商，如：xxfxxfxyΔ−Δ+=ΔΔ)()(xxxfxfxyΔΔ−−=ΔΔ)()(xxxfxxfxyΔΔ−−Δ+=ΔΔ)21()21(xxxfxxfxyΔΔ−−Δ+=ΔΔ2)()(一阶向前差商：一阶向后差商：一阶中心差商：或11z差分原理二阶差商多取中心式，即：222)()()(2)(xxxfxfxxfxyΔΔ−+−Δ+=ΔΔ多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推，如一阶向前差商为：xyxfyxxfxfΔ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅Δ+=ΔΔ),,(),,(yyxfyyxfyfΔ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅Δ+=ΔΔ),,(),,(…12z逼近误差差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。5)4(432))(()(!4)()('''!3)()(''!2)()(')()(xOxfxxfxxfxxxfxfxxfΔ+Δ+Δ+Δ+Δ+=Δ+现将函数在x的邻域作Taylor展开：))((!4)(!3)('''!2)('')(')()(43)4(2xOxxfxxfxxfxfxxfxxfΔ+Δ+Δ+Δ+=Δ−Δ+)()('xOxfΔ+=)(xxfΔ+xΔ一阶向前差商具有一阶精度135)4(432))(()(!4)()('''!3)()(''!2)()(')()(xOxfxxfxxfxxxfxfxxfΔ+Δ+Δ−Δ+Δ−=Δ−z逼近误差同理可知：)()(')()(xOxfxxxfxfΔ+=ΔΔ−−一阶向后差商也具有一阶精度将与的Taylor展开式相加可得：)(xxfΔ+)(xxfΔ−))(()('')()(2)(22xOxfxxxfxfxxfΔ+=ΔΔ−+−Δ+二阶中心差商的精度也是二阶14z逼近误差函数差分和差商的定义：设有函数，自变量x的增量为，若取)(xfxΔ,xjxxiΔ+=⋅⋅⋅±±=,2,1,0j对应的函数值，则在处的n阶差分可表达为)(xfix)(xjxfiΔ+∑−=Δ+=Δ21)()(JJjijinxjxfcxf∑−==21!JJjnjjjjaanc式中，cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且时，称为中心差分。jjcc−=155.3差分方程z将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程，下面以对流方程为例，列出相应的差分方程：0=∂∂+∂∂xtξαξ网格划分后，就可针对某一节点，用差商近似代替导数。则对流方程在（xi,tn）点为：0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂ninixtξαξ这里α做常数处理,若α是x的函数，则应该用αi。1602111=Δ−+Δ−−++xtninininiξξαξξ5.3差分方程z若时间导数用一阶向前差商近似代替，即ttnininiΔ−≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+ξξξ1z空间导数用一阶中心差商近似代替，即xxnininiΔ−≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−+211ξξξ则在（xi,tn）点的对流方程就可近似地写作：差分方程175.4截断误差和相容性z由前面逼近误差的分析可知，用时间向前差商代替导数时的误差为，用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，即：))((2xOΔ)(tOΔ))(,())(()(22xtOxOtORniΔΔ=Δ+Δ=z这也可由Taylor展开得到，xtxxtxxttxttxninininiΔΔ−−Δ++Δ−Δ+2),(),(),(),(ξξαξξ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⋅⋅⋅+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=23322!3121xtttttninininiξξαξξ))(,(2xtOxtniΔΔ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂=ξαξ用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差18z一般来说，若微分方程为其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为)()(φφDDR−=ΔfD=Δ)(ξfD=)(ξ5.4截断误差和相容性ΔD这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。如果当Δx、Δt→0时，差分方程的截断误差的某种范数也趋于零，即φξ0lim00=→Δ→ΔRtx则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。19其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为：z以上只考虑了方程，但从整个问题来看，还应考虑定解条件。若微分问题的定解条件为：gB=)(ξ其中BΔ是差分算子，则截断误差为：只有方程相容，定界条件也相容，即：和整个问题才相容。这里Δx、Δt→0的情况有两种：一是各自独立地趋于零，这是无条件相容；另一是Δx与Δt之间存在某种关系（如Δt/Δx=K下同时趋于零，这种情况下的相容为条件相容。5.4截断误差和相容性gB=Δ)(ξ)()(φφBBr−=Δ0lim00=→Δ→Δrtx0lim00=→Δ→ΔRtx205.5收敛性与稳定性z所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。z然而，方程（无论是微分方程还是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此，除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学表达式在形式上是一致的）。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。21z更明确地说，对差分网格上的任意节点（xi,tn），也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点的解为，相应的微分问题的解为，二者之差为:5.5收敛性与稳定性niξ),(nitxξ),(nininitxeξξ−=称为离散化误差。如果当Δx、Δt→0时，离散化误差的某种范数趋近于零，即:e0lim00=→Δ→Δetx则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应于问题的解，否则不收敛。与相容性相似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件。225.5收敛性与稳定性z1982年R.Courant、K.O.Friedrichs和H.Lewy等人发现，并提出了关于双曲线型方程差分格式稳定性的必要条件（简称CFL条件）。z1950年公开发表了VonNeumann提出的稳定性分析法，这是现在比较广泛地用来确定稳定性准则的一种分析方法。z值得强调的是，这里所说的某种格式稳定或不稳定，是一种简略的说法。实际上，不可能孤立地研究某种格式，必然是针对某一微分问题来研究差分格式，所以差分格式的相容性、收敛性、稳定性都是针对给定的微分问题而言的。23)()(21ZBKZDKZΔΔ+≤))()((ZBZDKZΔΔ+≤5.5收敛性与稳定性z稳定性定义：将差分解表示为连续函数Z(x,t)，则稳定性的一种定义为：niξ)0,(),(xZKtxZ≤这里K是某个有限常数，称为Lipschitz常数，它不随Δx→0、Δt→0而变。z由于计算误差不仅可以来自初值，还可以来自边界值，而且可以来自右端项，所以也有将稳定性定义为：其中和分别是对应于微分方程和定界条件的差分算子，K1、K2分别是对应于、的Lipschitz常数。若取ΔDΔB)(ZDΔ)(ZBΔ),max(21KKK=则为：245.6Lax等价定理zLax等价定理：对一个适定的线性微分问题，及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为：线性微分问题适定差分格式相容稳定性收敛性255.7基于差分的分析系统的组成z前置处理：又称前处理，顾名思义就是计算分析做准备，一般包括造型（三维造型）和网格剖分（空间离散）两个任务。z计算分析：包括数学模型建立、模型离散、初始条件、边界条件和计算稳定条件等。¾建立数学模型是所有问题的基础和前提，数学模型应能够正确描述分析对象的相关过程，如传热过程、流动过程、扩散过程等。准确的数学模型是保证模型结果可信的昀重要的前提。265.7基于差分的分析系统的组成¾计算机无法直接对数学模型进行剖析，需要进行离散。在数学模型上有限元和有限差分并无区别，两种的区别是空间离散的网格形状以及基于离散网格的数学模型的离散方式。¾初始条件是指如何设置昀